2019年高考数学一轮复习课时分层训练28等差数列及其前n项和文北师大版20180410495

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1、课时分层训练(二十八)　等差数列及其前n项和A组　基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为(　　)A．37　　　　B．36C．20D．19A　[am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37.]2．(2018·兰州模拟)在等差数列{an}中，若前10项的和S10＝60，且a7＝7，则a4＝(　　)A．4B．－4C．5D．－5C　[法一：由题意得解得∴a4＝a1＋3d＝5，故选C．法二：由等差数列的性质有a1＋a10＝a7＋a4，∵S10＝＝60，∴a1＋a10＝12.又∵a7＝7，∴a4＝5

2、，故选C．]3．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)A．S7B．S6C．S5D．S4C　[∵∴∴Sn的最大值为S5.]4．(2018·合肥模拟)已知是等差数列，且a1＝1，a4＝4，则a10＝(　　)【导学号：00090165】A．－B．－C．D．A　[设的公差为d，∵a1＝1，a4＝4，∴3d＝－＝－，即d＝－，则＝＋9d＝－，故a10＝－，故选A．]55．(2017·湖北七市4月联考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日

3、行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？(　　)A．9日B．8日C．16日　　　　　D．12日A　[根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a1＝103，公差d1＝13的等差数列，前n天共跑的里程为S＝na1＋d1＝103n＋n(n－1)＝6.5n2＋96.5n；驽马每日行程也构成一个首项b1＝97，公差d2＝－0.5的等差数列，前n天共跑的里程为S＝nb1＋d2＝97n－n(n－1)＝－0.25n2＋97.25n.两马相逢时，共跑了一个来回．设其第n天相逢，则有6.5n2＋96.5n－0.25n2＋97.25n＝1125×2，解得n＝9，即它们第9天相遇，

4、故选A．]二、填空题6．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝________.22　[ak＝a1＋(k－1)d＝(k－1)d，a1＋a2＋a3＋…＋a7＝7a4＝7a1＋21d＝21d，所以k－1＝21，得k＝22.]7．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则等于________．　[法一：∵a5＝，b5＝，∴＝＝＝＝＝.法二：∵等差数列前n项之和的形式为n(an＋b)．∴由＝＝，可令Sn＝7n2，Tn＝n2＋3n.可求得：an＝14n－7，bn＝2n＋2.∴＝＝＝.]58．(2016·江苏高考)已知

5、{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．【导学号：00090166】20　[法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d，所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，所以a3＝2.由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a＝－3，化简得a＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1.公差d＝a3－a2＝2＋

6、1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.]三、解答题9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.[解]　(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.3分由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.5分(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，故bn＋1－bn

7、＝(n＋2)－(n＋1)＝1，8分即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝.12分10．(2018·华中师大附中模拟)已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)．(1)求证数列是等差数列，并求其通项公式；(2)设bn＝－15，求数列{

8、bn

9、}的前n项和Tn.5[解]　(1)证明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)，∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋