数学解题教学应让通解通法落地生根

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1、万方数据2018年第57卷第2期数学通报45数学解题教学应让通解通法落地生根卓斌(江苏省宿迁市中小学教学研究室223800)1问题的提出在一次教学调研中，一位高三年级数学教师在复习《不等式的性质》一课时，给出了下面一道题让学生板演：已知一吾

2、

3、y<詈的可行域，令2x--Y=k，易知，当过点(号，号)时，是一2z—y一号；当过点(一号，詈)时，是一2x--y=--萼，所以一萼<2z—y<詈，即一萼<2a一豚詈．这次教学调研的经历让我深刻地认识到在数学解题教学中，一是要把握问题的数学本质，不能被表面现象所蒙蔽；二是要运用通解通法，避免繁难的解题技巧．一句话，数学解题教学应让通解通法落地生根．2对于通解通法的理解章建跃先生曾批评当下解题教学的现状：搞“题型+技巧”，不重视“通性通法”，机械模仿多，独立思考少，数学思维层次不高．有些解法“不自

4、然”，强加于人，对于学生数学学习兴趣与内部动机都有不利影响．章先生对于解题教学的看法可谓一针见血、入木三分．史宁中先生在他的专著《数学思想概论》第3辑《数学中的演绎推理》一书旁注中指出：“求解个案问题表现的是技巧，而得到规律性表现的是技能．数学教育需要培养技巧，但是更重要的是培养技能”．并举例说明，在韦达(F．Viete，1540—1603)之前，人们还是个案地求解一元二次方程，后来韦达发现了一元二次方程根与系数的关系，才给出了一般性的公式，即求解一元二次方程的通解通法．由此可见，史先生也是大力

5、倡导数学教育要注重培养解决一类问题规律性的技能，即通解通法．万方数据46数学通报2018年第57卷第2期在数学解题方面，以经历一般化加工的高考试题为例，其解题基本思路以及知识点都是学生已掌握的，但是在问题情境上因题目是从数值过渡到字母的表示，在思维观念上从正向思维变为逆向思维，因此常常让考生感到无从下手、无所适从．笔者认为数学解题的最高境界必然是“无招”．无招的背后，必然是有招，且招数的变化美妙了然于胸．无招的背后，必然是寻求以不变应万变的本质，而达到这样的境地，则必须熟悉复杂招数背后的本质．无

6、招的背后，还是勤学苦练百次、万次的结晶，揣摩万千变化，才有可能接近无招胜有招的巅峰．数学解题中的“无招”，其实质应该是解题的“通解通法”．那么，什么是数学解题中的“通解通法”呢?结合上述的观点，我们认为，通解通法就是解决这一类问题的最合理的想法、最基本的思路、最常用的方式、最普遍的操作程序．笔者曾经辅导过几位数学后进生，他(她)们学习数学最大的障碍就是认为数学解题方法太灵活了，不难捉摸了，太难学会了．譬如，有的老师讲题喜欢一题多解，让他们有一种“雾里看花”的感觉，每一种方法都浅尝辄止，不得要领；

7、还有老师讲题只讲怎么做，不讲为什么要这样做，以及怎么想到的这样做的，而且巩固训练也不到位，让他们呈现出“一看就会，一做就错”现象．实践表明，通解通法教学不仅有利于学生快速抓住数学知识的本质，形成有效解决问题的策略，而且有利于消除学生对数学学科的畏惧心理，增强学生学好数学的自信心．3例谈数学解题教学中的通解通法3．1分段函数问题，通解通法在于找准分段讨论的临界点．对于自变量z的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．它是一个函数，而不是几个函数．分段函数的定义域是各段函数定义

8、域的并集，值域也是各段函数值域的并集．顾名思义，解决分段函数问题关键在于“分段”，通解通法就是找准分段讨论的临界点．案例1(2015年江苏卷第13题)已知函数f0．0<．r≤：】厂(z)一11nz1，g(z)一亿一4^，z>1则方程，(z)+g(z)1—1实根的个数为解析本题主要考查分段函数的概念，利用导数研究函数性质以及数据的估算等知识点，考查学生利用数形结合与分类讨论的数学思想方法解决复杂函数的能力，属于难题．本题脱掉绝对值符号的关键点有两处，一是Inz的正负号，临界点是z与1的大小关系；二