利用基本不等式解高考特训选做题

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1、实用标准利用基本不等式解高考选做题引入：用基本不等式证明不等式用基本不等式证明不等式，要分析不等式的左右结构特征，通过拆(添)项创设一个应用基本不等式的条件．【例1】已知a，b，c都是实数．求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.证明：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，①即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，②在①式两边同时加上(a2＋b2＋c2)得3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，即a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2.③在②式两边同

2、时加上2(ab＋bc＋ca)得(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)，即(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.④∴由③④可得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.方法点评：利用不等式a2＋b2≥2ab和a＋b≥2(a＞0，b＞0)时，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用．文档实用标准变式训练1．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.证明：＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝时取等号．高考衔接（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））（不等式选讲）设a

3、、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.【解题指南】(1)将两边平方，化简整理，借助不等式的性质，即得结论.(2)证，也即证可分别证然后相加即得.证明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.文档实用标准(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.误区

4、解密　两次或多次应用基本不等式　　　　应注意等号是否同时成立【例3】a＞0，b＞0，a＋b＝4，求2＋2的最小值．错解：2＋2≥2＋2＝4＋4＝8，故2＋2的最小值是8.正解：∵a＋b＝4，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab.又a2＋b2≥2ab，∴16－2ab≥2ab，即ab≤4.∴2＋2≥＝≥＝.故2＋2的最小值是.文档实用标准1（2010·辽宁高考理科·Ｔ24）已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立.【命题立意】本题考查了不等式的性质，考查了均值不等式.【思路点拨】把，分别用均值不等式，相加后，再用均值不等式.【规范解答】证法一:∵……

5、……………………①，∴……………………②……………………③∴原不等式成立.当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当时，③式等号成立.即当a＝b＝c＝时原式等号成立.证法二:∵a,b,c都是正数，由基本不等式得文档实用标准∴………………………………①同理………………………………②∴…………………………………………③∴原不等式成立当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c,时，③式等号成立.即当a＝b＝c＝时原式等号成立.(2014年辽宁卷16题)16.对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为.解法1填－2.(柯西不等式)∵，∴，

6、由柯西不等式得，，文档实用标准故当

7、2a＋b

8、最大时，有，∴，代入已知得，∴，当时，取得最小值为－2.类似的，还可以这样构造式子：，所以，剩下的步骤和解法1相同.解法2填－2.（求解对照）∵，∴，则，当时，取到等号，即取到最大值，将代入中，解得，下面步骤与解法1步骤一样.这种解法较为简单，容易理解，所以推荐这种解法.解法3填－2.（判别式法）设t＝2a＋b，则b＝t－2a，代入式子中，整理可得要保证关于a的方程有解，则△＝，整理解t，，即，而只有△＝0时，等号成立，即使文档实用标准最大，此时，，即，又，所以，当时，上式取得最小值，解得，，所以当，，时，的最小值为－

9、2.解法4填－2.（换元法）∵，∴，设，，则，，代入式子中，所以.当时，等号成立，即，整理得，代入到已知等式中解得，所以，当时，上式取得最小值，解得，，所以当，，时，的最小值为－2.解法5填－2.（齐次—均值不等式法）令，由已知可得，所以文档实用标准，设，则.当且仅当即或（舍）时，等式成立，所以，即时，取到最大值，将代入中，解得，下面步骤与其他解法步骤一样.点评：（1）本题涉及到柯西不等式，二次函数求最值等知识点，（2）解法1涉及4个步骤：构造式子，利用柯西不等式求最值取得的条件，用b表示a，c，代入求最值，得结果；解法2涉及4个步骤：变形化简，利用二次函数求最值

10、取得的条件