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《立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、实用标准知识点整理(一)平行与垂直的判断(1)平行：设的法向量分别为，则直线的方向向量分别为，平面线线平行∥∥；线面平行∥；面面平行∥∥(2)垂直：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则线线垂直⊥⊥；线面垂直⊥∥；面面垂直⊥⊥(二)夹角与距离的计算注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算(1)夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则①两直线,所成的角为(),；②直线与平面所成的角为(),；③二面角─l─的大小为(),(2)空间距离点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难,①点到平面的距离:(定理)如图，设是
2、是平面的法向量，AP是平面的一条斜线，其中则点P到平面的距离②(实质是在法向量方向上的投影的绝对值)③异面直线间的距离:(的公垂向量为,分别是上任一点).ABCDabl题型一：非正交基底下的夹角、距离、长度的计算例1．如图，已知二面角a-l-b的大小为1200，点AÎa，BÎb，AC^l于点C，BD^l于点D，且AC=CD=DB=1.求：（1）A、B两点间的距离；（2）求异面直线AB和CD的所成的角（3）AB与CD的距离.文档实用标准解：设则（1），A、B两点间的距离为2.（2）异面直线AB和CD的所成的角为600（3）设与AB、CD都垂直的非零向量为，由得①；由得②，令x=1，则由
3、①、②可得z=-1，，由法则四可知，AB与CD的距离为.小结：任何非正交基底下的证明、计算都先设基底，并将条件也用基底表示，特别证明线面平行时，如AB//平面PEF可以将有基底表示，，也用基底表示，最后用待定系数法，将λ和μ求出。例2。如图，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1。另一个侧面ABC是正三角形.（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B—AC—D的大小；（3）在段线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由.20．解法一：（1）方法一：作AH⊥面BCD于H连D
4、H.AB⊥BDHB⊥BD，∵AD=，BD=1∴AB==BC=AC∴BD⊥DC又BD=CD，则BHCD是正方形，则DH⊥BC.∴AD⊥BC，方法二：取BC的中点O，连AO、DO，则有AO⊥BC，DO⊥BC.∴BC⊥面AOD，∴BC⊥AD（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B—AC—D的平面角.∵AB=AC=BC=，∴M是AC的中点，且MN//CD.文档实用标准则BM=由余弦定理得.（3）设E为所求的点，作EF⊥CH于F，连FD，则EF//AH，∴EF⊥面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角，则∠EDF=30°，设EF=x，易得AH=HC=1，则CF=
5、x，FD=.故线段AC上存在E点，且CE=1时，ED与面BCD成30°角.解法二：（1）作AH⊥面BCD于H，连BH、CH、DH，则四边形BHCD是正方形，且AH=1，以D为原点，以DB为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系如图，则B（1，0，0），C（0，1，0），A（1，1，1）.（2）设平面ABC的法向量为=，同理，可求得平面ACD的一个法向量为.由图可以看出，二面角B—AC—D的大小应等于=，即所求二面角的大小是（3）设E（x，y，z）是线段AC上一点，则平面BCD的一个法向量为要使ED与面BCD成30°角，由图可知的夹角为60°，文档实用标准题型二、利用坐标系或几何法解决距离、
6、角度及其证明问题例3、如题（18）图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：（Ⅰ）直线到平面的距离；（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．解法一:（Ⅰ）平面,AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因∥，故；又平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离在中，由平面，得AD，从而在中，。即直线到平面的距离为。（Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，为二面角的平面角，记为.在中,,由得,,从而在中,,故所以二面角的平面角的正切值为.解法二:（Ⅰ）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0)C(2,2
7、,0)D(0,2,0)设可得,由.即,解得∥，面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则因且,而,此即解得 ① ,知G点在面上,故G点在FD上.文档实用标准,故有②联立①,②解得,.为直线AB到面的距离.而所以（Ⅱ）因四边形为平行四边形,则可设,.由得,解得.即.故由,因,,故为二面角的平面角，又,,,所以例3、如图,四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，图4侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45
