二次函数经典例题及答案

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1、--二次函数经典例题及答案1.已知抛物线的顶点为P（－4，－），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B点坐标为（1，0）。（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段AC上是否存在这样的点Q，使得△ADQ为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．y=x2+4x-；存在点Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-）．析试题分析：（1）根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a（x+4）2-，然后把点B的坐标代入解析式求出a的值，即可得解；（2）先根据顶点坐标求出点D的坐标，再根据抛物线解析

2、式求出点A、C的坐标，从而得到OA、OC、AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出∠OAC的正弦值与余弦值，再分①AD=Q1D时，过Q1作Q1E1⊥x轴于点E1，根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ1，再利用∠OAC的正弦求出Q1E1的长度，根据∠OAC的余弦求出AE1的长度，然后求出OE1，从而得到点Q1的坐标；②AD=AQ2时，过Q2作Q2E2⊥x轴于点E2，利用∠OAC的正弦求出Q2E2的长度，根据∠OAC的余弦求出AE2的长度，然后求出OE2，从而得到点Q2的坐标；③AQ3=DQ3时，过Q3作Q3E3⊥x轴于点E3，根据等腰

3、三角形三线合一的性质求出AE3的长度，然后求出OE3，再由相似三角形对应边成比例列式求出Q3E3的长度，从而得到点Q3的坐标．试题解析：（1）∵抛物线顶点坐标为（-4，-），--∴设抛物线解析式为y=a（x+4）2-∵抛物线过点B（1，0），∴a（1+4）2-=0，解得a=，所以，抛物线解析式为y=（x+4）2-，即y=x2+4x-；（2）存在点Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-）．理由如下：∵抛物线顶点坐标为（-4，-），∴点D的坐标为（-4，0），令x=0，则y=-，令y=0，则x2+4x-=0，整理得，x2+8x-9=0，解得x1=1，x

4、2=-9，∴点A（-9，0），C（0，-），∴OA=9，OC=，AD=-4-（-9）=-4+9=5，在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC=∴sin∠OAC=cos∠OAC=，①AD=Q1D时，过Q1作Q1E1⊥x轴于点E1，--根据等腰三角形三线合一的性质，AQ1=2•ADcos∠OAC=2×5×，Q1E1=AQ1•sin∠OAC=×=4，AE1=AQ1•cos∠OAC=×=8，所以，OE1=OA-AE1=9-8=1，所以，点Q1的坐标为（-1，-4）；②AD=AQ2时，过Q2作Q2E2⊥x轴于点E2，Q2E2=AQ2•sin∠OAC=5×=，AE2=AQ2•c

5、os∠OAC=5×=2，所以，OE2=OA-AE2=9-2，所以，点Q2的坐标为（2-9，-）；③AQ3=DQ3时，过Q3作Q3E3⊥x轴于点E3，则AE3=AD=×5=，所以，OE3=9-=，∵Q3E3⊥x轴，OC⊥OA，∴△AQ3E3∽△ACO，--∴，即，解得Q3E3=，所以，点Q3的坐标为（-，-），综上所述，在线段AC上存在点Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-），使得△ADQ为等腰三角形．2.如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求B、C两

6、点坐标；（2）求此抛物线的函数解析式；（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．1）B（3，0）C（0，3）（2）此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（3）存在这样的P点，其坐标为P（0，3），（2，3）（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．--试题分析：（1）已知了过B、C两点的直线的解析式，当x=0时可求出C点的坐标，当y=0是可求出B点的坐标．（2）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此将B、C两点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线的解析式可得出A点的坐标，由此可求

7、出AB的长，由于S△PAB=S△CAB，而AB边为定值．由此可求出P点的纵坐标，然后将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3经过B、C∴当x=0时y=3当y=0时x=3∴B（3，0）C（0，3）（2）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C∴．∴b=2，c=3．∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（3）当y=0时，﹣x2+2x+3=0；x1=﹣1，x2=3．∴A（﹣1，0）设P（x，y）∵S△PAB=S△CAB∴×4×

8、y

9、=×4×3∴y=3或y=﹣3①当y=3时，3=﹣x2+2x+3∴x1=0，x2=2P（0

10、，3）或（2，3）②当y