二次函数例题经典

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1、【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符乃例1（1）二次函数y=ax2+bx^c的图像如图1,则点M@,£）在（）aA.第一彖限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2）己知二次函数y=ax2+bx+c（aHO）的图象如图2所示，则卜•列结论：①a、b同号；②当x=l和x=3时，函数值相等；③4a+b二0；④当产-2时，x的值只能取0.其中止确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系，是解决问题的关键.例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2,0）、（X1,0）,且1

2、轴的交点在点（0,2）的下方.下列结论:®a0；③4a+c<0；④2a-b+l>0,其中正确结论的个数为（）A1个B.2个C.3个D.4个答案:D会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=~2,且二次函数y二ax'+bx+c的对称轴是直线x二2,则抛物线的顶点坐标为（）A（2,-3）B.（2,1）C（2,3）D.（3,2）答案：C例4、（2006年烟台市）如图（单位：m）,等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿点线L向正方形移动，直到AB与CD重合.设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y

3、n?.（1）写出y与x的关系式；（2）当x二2,3.5时,y分别是多少?（3）当重叠部分的面积是止方形面积的一半吋,二角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=—x2+x--.22（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴.（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.【点评】本题(1)是对二次函数的“基木方法”的考查，第(2)问主要考查二次函数少一元二次方程的关系.例6.己知:二次函数y=ax2-(b+l)x-3a的图象经过点P(4,10),交x轴于A(x},0),B(x2,0)两点(兀】

4、-0B・(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图彖上是否存在点M,使锐角ZMC0>ZAC0?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范伟

5、；若不存在，请你说明理由.(1)解：如图•・•抛物线交x轴于点A(x>,0),B(x2,0),则Xi•x2=3<0,又*.*xi0,xi<0,V30A=0B,/.x2=-3xi./.Xi•X2="3xi=-3.Axi=Lxi<0,/•X2=3・・••点A(-l,0),P(4,10)代入解析式得解得沪2b=3・・・.二次函数的解析式为y-2x2-4x-6.(2)存在点M使ZMCO

6、对称点A，(1,0),・・・直线A,C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0,-6),(5,24).・•・符合题意的x的范围为-lZAC0.例7、“已知函数丁=丄X1^bx+c的图象经过点A(c,-2),求证：这个二次两数图象的对称轴是x二3。”题目屮的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。(1)根据已知和结论中现有的倍息，你能否求岀题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图彖；若不能，请说明理由。(2)请你根据已有的信息，在原题屮的矩形框中，填加一个

7、适当的条件，把原题补充完整。点评：对•于第(1)小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图彖经过点A(c,一2)”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题小的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图彖上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。19［解答］（1）根据y=-x2+bx+c的图象经过点A（c,-

8、2）,图象的对称轴是x=3,212,宀—+bc+c=—2,2得亠"0=_3解得彳c=2.1r所以所求二次函数解析式为y=-x2-3x+2.图象如图所示。（2）在解析式中令尸0,得*/_3兀+2=0,解得州=3+馅,兀2=3-石.所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+石,0）”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3-75,0）.令x=3代入解析式，得y=-

9、,所以抛物线y=^x2-3x+2的顶点他标为（3,-

10、）,所以也可以填抛物线的顶点坐标为（3,-丄）等等。2函数主耍关注：通过不同的途径（图彖、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数;

11、将函数视为“变化过程屮变