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1、二次函数经典例题例1:当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-m)²+m²+1有最大值4,则实数m的值为:分析:二次函数开口向下,其增减性与对称轴x=m有关.1.-2≤x≤1在对称轴的左侧:在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,则x=时,y最大值=4,可解得m=2.-2≤x≤1在对称轴的两侧,x=时,y最大值=4,可解得m=对于-2≤x≤1与直线x=m有以下三种位置关系:3.-2≤x≤1在对称轴的右侧:在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,则x=时,y最大值=4,可解得m=综上所述:当y=-(x-m)²+m²+1有最大值4时,m=例2:已知二
2、次函数y=ax²+bx+c(a0),如图所示,当-5≤x≤0时,下列说法正确的是()A.有最小值-5,最大值0B.有最小值-3,最大值6C.有最小值-5,最大值6D.有最小值2,最大值662-3-5-2xyo例3:已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像如图,在下列说法:①c=0,②该抛物线的对称轴是直线x=-1,③当x=1时,y=2a,④am²+bm+a›0(m≠-1),其中正确的是()-2oxyA.1B.2C.3D.4例4:二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像如图所示,下列结论:①abc›0,②2a+b=0,③当m≠
3、1时,a+b›am²+bm,④a-b+c›0,⑤若ax1²+bx1=ax2²+bx2,且x1≠x2,x1+x2=2,其中正确的有()A.①②③B.②④C.②⑤D.②③⑤O3XyX=1例5:“如果二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与X轴有两个交点,那么一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根.”,请根据你对这句话的理解,解决下面的问题:若m,n(m‹n)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两个根,且a‹b,则a,b,m,n的大小关系是()例6:如图,抛物线y=x²-2x-3与X轴交于A,B两点(A在B的左侧)
4、,直线L交抛物线于A,C两点,其中C点的横坐标为2.(1)求A,B两点的坐标和直线L的解析式。(2)P是线段AC上的一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点E,求线段PE长度的最大值。(3)点G是抛物线上的一个动点,在X轴上是否存在点F,使以A,C,F,G为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点的坐标;如果不存在,请说明理由。xyLABCPOE解:(1)令y=0,解得X1=-1,或X2=3,∴A(-1,0),B(3,0)将点C的横坐标2代入y=x²-2x-3得y=-3,∴C(2,-3)∴直线L的解析式为y=-x-3
5、xyLABCPOEY=x²-2x-3(2)设P点的横坐标为m(-1≤m≤2),则P、E的坐标分别为(m,-m-3)、(m,m²-2m-3)∵P在E的上方,∴PE=(-m-1)-(m²-2m-3)=-m²+m+2∴当m=时,PE最大值=1294(3)存在4个这样的点F,分别是F1(1,0)F2(-3,0),F3(4+,0),F4(4-,0)y=-x-3解:(1)直线y=x﹣3与坐标轴的交点A(3,0),B(0,﹣3),则解得,∴此抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3.(2)抛物线的顶点D(1,﹣4),与x轴的另一个交点C(﹣1,0).设P(a
6、,a2﹣2a﹣3),则(×4×
7、a2﹣2a﹣3
8、):(×4×4)=5:4.化简得
9、a2﹣2a﹣3
10、=5.当a2﹣2a﹣3=5,得a=4或a=﹣2.∴P(4,5)或P(﹣2,5),当a2﹣2a﹣3<0时,即a2﹣2a+2=0,此方程无解.综上所述,满足条件的点的坐标为(4,5)或(﹣2,5).