1996考研数三真题与解析

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1、1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设方程确定是的函数,则___________.(2)设,则___________..(3)设是抛物线上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________.(4)设,,,其中.则线性方程组的解是___________.(5)设由来自正态总体容量为9的简单随机样本,得样本均值,则未知参数的置信度为0.95的置信区间为___________.二、选择题(本题共5

2、小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)累次积分可以写成()(A)(B)(C)(D)(2)下述各选项正确的是()(A)若和都收敛,则收敛(B)收敛,则与都收敛(C)若正项级数发散,则(D)若级数收敛,且,则级数也收敛(3)设阶矩阵非奇异(),是矩阵的伴随矩阵,则()(A)(B)(C)(D)(4)设有任意两个维向量组和,若存在两组不全为零的数和,使,则()(A)和都线性相关(B)和都线性无关(C)线性无关(D)线性相关(5)已知且,则下

3、列选项成立的是()(A)(B)(C)(D)三、(本题满分6分)设其中有二阶连续导数,且.(1)求；(2)讨论在上的连续性.四、(本题满分6分)设函数,方程确定是的函数,其中可微；,连续,且.求.五、(本题满分6分)计算.六、(本题满分5分)设在区间上可微,且满足条件.试证:存在使七、(本题满分6分)设某种商品的单价为时,售出的商品数量可以表示成,其中均为正数,且.(1)求在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.(2)要使销售额最大,商品单价应取何值?最大销售额是多少?八、(本题满分6分)求微分方程的通解.九、(

4、本题满分8分)设矩阵.(1)已知的一个特征值为3,试求；(2)求矩阵,使为对角矩阵.十、(本题满分8分)设向量是齐次线性方程组的一个基础解系,向量不是方程组的解,即.试证明:向量组线性无关.十一、(本题满分7分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?十二、(本题满分6分)考虑一元二次方程,其中分别是将一枚色子(骰子)

5、接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率和有重根的概率.十三、(本题满分6分)假设是来自总体X的简单随机样本；已知.证明：当充分大时,随机变量近似服从正态分布,并指出其分布参数.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】【解析】方法1：方程两边取对数得,再两边求微分,.方法2：把变形得,然后两边求微分得,由此可得(2)【答案】【解析】由,两边求导数有,于是有.(3)【答案】(或),任意【解析】对两边求导得所以过

6、的切线方程为即又题设知切线过原点,把代入上式,得即由于系数,所以,系数应满足的关系为(或),任意.(4)【答案】【解析】因为是范德蒙行列式,由知.根据解与系数矩阵秩的关系,所以方程组有唯一解.根据克莱姆法则,对于,易见所以的解为,即.【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组或简记为其系数行列式,则方程组有唯一解其中是用常数项替换中第列所成的行列式,即.(5)【答案】【解析】可以用两种方法求解：(1)已知方差,对正态总体的数学期望进行估计,可根据因,设有个样本,样本均值,有,将其标准化,由公式得：由正态分布分

7、为点的定义可确定临界值,进而确定相应的置信区间.(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值的置信区间问题.由教材上已经求出的置信区间,其中,可以直接得出答案.方法1：由题设,,可见查标准正态分布表知分位点本题,,因此,根据,有,即,故的置信度为0.95的置信区间是.方法2：由题设,,查得,,代入得置信区间.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系中是

8、1即是由与轴在第一象限所围成的平面图形,如右图.由于的最左边点的横坐标是,最右点的横坐标是1,下边界方程是上边界的方程是,从而的直角坐标表示是故(D)正确.方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分,(C)中的积分区域是正方形所以,他们都是不正确的.故应选(D).(2)【答案】(A)【解析】由于级数和都收敛,可见级数