1996考研数一真题与解析

《1996考研数一真题与解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)设,则___________.(2)设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面垂直,则此平面方程为___________.(3)微分方程的通解为___________.(4)函数在点处沿点指向点方向的方向导数为___________.(5)设是矩阵,且的秩,而,则___________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目

2、要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)已知为某函数的全微分,则等于()(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设有二阶连续导数,且,,则()(A)是的极大值(B)是的极小值(C)是曲线的拐点(D)不是的极值,也不是曲线的拐点(3)设,且收敛,常数,则级数()(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与有关(4)设有连续的导数,,,,且当时,与是同阶无穷小,则等于()(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四阶行列式的值等于()(A)(B)(C)(D)三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.

3、)(1)求心形线的全长,其中是常数.(2)设,,试证数列极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)(1)计算曲面积分,其中为有向曲面,其法向量与轴正向的夹角为锐角.(2)设变换可把方程化简为,求常数,其中有二阶连续的偏导数.五、(本题满分7分)求级数的和.六、(本题满分7分)设对任意,曲线上点处的切线在轴上的截距等于,求的一般表达式.七、(本题满分8分)设在上具有二阶导数,且满足条件,,其中都是非负常数,是(0,1)内任一点,证明.八、(本题满分6分)设,其中是阶单位矩阵,是维非零列

4、向量,是的转置,证明：(1)的充要条件是；(2)当时,是不可逆矩阵.九、(本题满分8分)已知二次型的秩为2.(1)求参数及此二次型对应矩阵的特征值；(2)指出方程表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)设工厂和工厂的产品的次品率分别为1%和2%,现从由和的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属生产的概率是__________.(2)设、是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量,则随机变量的数学期望__________.十一、(本题满分6分.)

5、设、是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布律为,=1,2,3,又设,.(1)写出二维随机变量的分布律：123123(2)求随机变量的数学期望.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】【解析】这是型未定式求极限.方法一：,令,则当时,,则,即.由题设有,得.方法二：,由题设有,得.(2)【答案】【解析】方法一：所求平面过原点与,其法向量；平面垂直于已知平面,它们的法向量也互相垂直：；由此,.取,则所求

6、的平面方程为.方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点的向量,另一是平面的法向量)平行的平面,即,即.(3)【答案】【解析】微分方程所对应的齐次微分方程的特征方程为,解之得.故对应齐次微分方程的解为.由于非齐次项不是特征根,设所给非齐次方程的特解为,代入得(也不难直接看出),故所求通解为.【相关知识点】①二阶线性非齐次方程解的结构：设是二阶线性非齐次方程的一个特解.是与之对应的齐次方程的通解,则是非齐次方程的通解.②二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的

7、通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常数,方程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根；分三种情况：(1)两个不相等的实数根,则通解为(2)两个相等的实数根,则通解为(3)一对共轭复根,则通解为其中为常数.③对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下：如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如的特解,其中是与相同次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可设为,其中与是次多项式,,而按(或)不是特

8、征方程的根、或是特征方程的单根依次取为或.(4)【答案】【分析】先求方向的方向余弦和,然后按方向导数的计算公式求出方向导数.【解析】因为与同向,为求的方向余弦,将单位化，即得.将函数分别对求偏导数得,,,所以.(5)【答案】【解析】因为,所以矩阵可逆,故.【相关知识点】.若可逆,则.从而,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中