1996考研数二真题与解析

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1、1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设,则＿＿＿＿＿＿.(2)＿＿＿＿＿＿.(3)微分方程的通解为＿＿＿＿＿＿.(4)＿＿＿＿＿＿.(5)由曲线及所围图形的面积＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设当时,是比高阶的无穷小,则()(A)(B)(C)(D)(2)设函数在区间内有定义,若当时,恒有,则必是的()(A)间断点(B)连续而不可导的点(C)可导的点,且(D)可导的点,且(3)设处处可导,

2、则()(A)当,必有(B)当,必有(C)当,必有(D)当,必有(4)在区间内,方程()(A)无实根(B)有且仅有一个实根(C)有且仅有两个实根(D)有无穷多个实根(5)设在区间上连续,且(为常数),由曲线及所围平面图形绕直线旋转而成的旋转体体积为()(A)(B)(C)(D)三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1)计算.(2)求.(3)设其中具有二阶导数,且,求.(4)求函数在点处带拉格朗日型余项的阶泰勒展开式.(5)求微分方程的通解.(6)设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为,用过此柱体底面的短轴与底面成角()的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积.四、(本题满分

3、8分)计算不定积分.五、(本题满分8分)设函数(1)写出的反函数的表达式；(2)是否有间断点、不可导点,若有,指出这些点.六、(本题满分8分)设函数由方程所确定,试求的驻点,并判别它是否为极值点.七、(本题满分8分)设在区间上具有二阶导数,且,,试证明：存在和,使及.八、(本题满分8分)设为连续函数,(1)求初值问题的解,其中为正的常数；(2)若(为常数),证明：当时,有.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】.(2)【答案】【解析】注意到对称区间上奇偶函数的积分性质,有原式.【相关知识点】对称区间上奇偶函数

4、的积分性质：若在上连续且为奇函数,则；若在上连续且为偶函数,则.(3)【答案】【解析】因为是常系数的线性齐次方程,其特征方程有一对共轭复根故通解为.(4)【答案】【解析】因为时,(为常数),所以,原式.(5)【答案】212xyO【解析】曲线的交点是,当时(单调上升)在上方,于是二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(A)【解析】方法1：用带皮亚诺余项泰勒公式.由,可得应选(A).方法2：用洛必达法则.由有又由.应选(A).(2)【答案】(C)【解析】方法一：首先,当时,.而按照可导定义我们考察,由夹逼准则,,故应选(C).方法二：显然,,由,,得,即有界,且.故应选

5、(C).方法三：排除法.令故(A)、(B)、(D)均不对,应选(C).【相关知识点】定理：有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)【答案】(D)【解析】方法一：排除法.例如,则(A),(C)不对；又令,则(B)不对.故应选择(D).方法二：由,对于,存在,使得当时,.由此,当时,由拉格朗日中值定理,,从而有,故应选择(D).【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数满足(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导,那么在内至少有一点(),使等式成立.(4)【答案】(C)【解析】令,则,故是偶函数,考察在内的实数个数：().首先注意到,当时,由零值定理,函数必有零点,且由,在单调递增,故有唯一零点.当

6、时,没有零点；因此,在有一个零点.又由于是偶函数,在有两个零点.故应选(C).【相关知识点】零点定理：设函数在闭区间上连续,且与异号(即),那么在开区间内至少有一点,使.(5)【答案】(B)【解析】见上图,作垂直分割,相应于的小竖条的体积微元,于是,故选择(B).三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1)【解析】方法一：换元法.令,则,所以.方法二：换元法.令,则,,.方法三：分部积分法和换元法结合.原式令,则,原式.【相关知识点】1.,2.时,.(2)【解析】方法一：.方法二：.方法三：换元法.令,则,原式.(3)【解析】这是由参数方程所确定的函数,其导数为,所以.(4)【解析】函

7、数在处带拉格朗日余项的泰勒展开式为.对于函数,有所以故.(5)【解析】方法一：微分方程对应的齐次方程的特征方程为,两个根为,故齐次方程的通解为.设非齐次方程的特解,代入方程可以得到,因此方程通解为.方法二：方程可以写成,积分得,这是一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为.方法三：作为可降阶的二阶方程,令,则,方程化为,这是一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为再积分