周世勋量子力学教（学）案5

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1、§5.1非简并定态微扰理论             如何分？假设本征值及本征函数较容易解出或已有现成解，是小量能看成微扰，在已知解的基础上，把微扰的影响逐级考虑进去。                                          代入方程                                                                                                                                  

2、                  同次幂相等             （                              （1）                                   (2)                        (3)                           ①求能量的一级修正   (2)式左乘并对整个空间积分                                                   能量的一级修正等于在态中的平均值。②求对

3、波函数一级修正将                         仍是方程(2)的解，选取a使展开式不含             将上时代入式(2)以 左乘上式，对整个空间积分令上式化简为：③求能量二级修正把 代入(3)式，左乘方程（3）式，对整个空间积分左边为零 讨论：（1）微扰论成立的条件：(a)    可分成，是问题主要部分，精确解已知或易求(b)<<1（2）可以证明例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。【解】        是的偶函数利用递推公式  

4、                                               波函数的一级修正             利用能级移动可以直接准确求出    令：   §5.2简并情况下的微扰理论假设是简并的                k度简并已正交归一化              代入上式            以左乘上式两边，对整个空间积分             左边             右边                                         不全为零解的

5、条件是     由久期方程可得到能量一级修正的k个根            由于具有某种对称性，因此不考虑时，能级是k度简并的,考虑后,哈密顿量的对称性破坏，使能级的简并度降低或完全消除。要确定，需求出，将代入上式，可求出。§5.3氢原子的一级斯塔克效应斯塔克（stark）效应：氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象。                  (是均匀的，沿z轴)下面研究n=2时的能级分裂现象：n=2,有4个简并度            求只有两个态角量子数差,时,矩阵元才不为零  和不为零     

6、 为实的厄密算符                                                                                                  带入久期方程                  没有外电场时，原来简并的能及在一级修正中分裂为三个，兼并部分消除             ①当时                                  ② 当时                                       ③ 当时

7、，   和为不同时为零的常数。                                                        §5.4　变分法应用微扰论应很小，否则微扰论不能应用，本节所介绍的变分法不受上述条件限制。                  对任意一个归一波函数能量平均值                                                     即              用任意波函数算出的平均值总是大于体系基态能量，而只有当恰好是体系的基态波函数时，的平

8、均值才等于。变分法求基态能量的步骤：（1）.选取含有参量的尝试波函数。根据具体问题的特点，选数学形式上较简单，物理上也较合理的试探波函数。（2）.算出平均能量，然后由，求出的最小值，所得结果就是近似值。例：设氢原子的基态试探解取为，N为归一化常数，为变分参数，求基态能量并与精确解比较。【解】       由归一化条件