专题03 二次函数背景下的图形变换-2019年中考数学复习压轴题突破之二次函数（解析版）

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1、【方法综述】本类型主要研究二次函数背景下的图形变换。因为图形的平移、折叠和旋转是许多数学问题进行命题的基础，因此这类问题大量存在，并且和其它问题相交织。二次函数背景下的图形变换主要分成两类：一个是二次函数图象的图形变换，此类问题在解决二次函数图象平移时可以采用顶点式表示抛物线顶点的变化，从而降低因图形变换函数关系式的表示难度。另一类，是以二次函数为背景的几何图形变换。对于此类问题首先要掌握每一种图形变换的性质，并应用这些性质结合已知条件构成方程解决问题。【典例示范】类型一、二次函数为背景的平移变换例1：（2018年中考专题训练）如图，已知抛物线经过，两点，顶点为.（1）求

2、抛物线的解析式；（2）将绕点顺时针旋转后，点落在点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；[来源:学&科&网]（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为.（2）平移后的抛物线解析式为：.（3）点的坐标为或.（2）∵,，∴，，可得旋转后点的坐标为，当时，由得，可知抛物线过点，∴将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点，则平移后的抛物线解析式为：；（3）∵点在上，可设点坐标为，将配方得，∴其对称轴为，学科*网①当时，如图①，∵，∴，∵，此时，∴点的坐标

3、为；针对训练1．（山东济南模拟）如图1，已知二次函数y=mx2+3mx﹣m的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D和点B关于过点A的直线l：y=﹣x﹣对称．（1）求A、B两点的坐标及二次函数解析式；（2）如图2，作直线AD，过点B作AD的平行线交直线1于点E，若点P是直线AD上的一动点，点Q是直线AE上的一动点．连接DQ、QP、PE，试求DQ+QP+PE的最小值；若不存在，请说明理由：（3）将二次函数图象向右平移个单位，再向上平移3个单位，平移后的二次函数图象上存在一点M，其横坐标为3，在y轴上是否存在点F，使得∠MAF=45°？若存在，请求出点F坐标；若不

4、存在，请说明理由．【答案】（1）A（﹣，0），B（，0）；抛物线解析式y=x2+x﹣；（2）12；（3）（0，），（0，﹣）∵直线y=﹣x﹣与x轴所成锐角为30°，且D，B关于y=﹣x﹣对称，∴∠DAB=60°，且D点横坐标为﹣，∴D（﹣，﹣3），学&科网∴﹣3=m﹣m﹣m，∴m=，∴抛物线解析式y=x2+x﹣；根据对称性可得PQ=P'Q，PE=EP'=P'E'，∴DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E'，∴当D，Q，E'三点共线时，DQ+PQ+PE值最小，即DQ+PQ+PE最小值为DE'，∵D（﹣，﹣3），E'（，3），∴DE'=12，学科*网∴DQ+PQ+PE最小值为

5、12；∵A（﹣，0），M（3，3），∴E（3﹣3，3+），∴直线AE解析式：y=x+，∴F（0，），若以AM为直角边，点M是直角顶点，在AM上方作等腰直角△AME，同理可得：F（0，﹣）.学科*网2.（云南腾冲期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，将直线沿轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于点，O求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线距离相等的点的坐标．【答案】（1）y=（2）y=x（3）M（，0）、A（0，2）、（0，-2）、（，0）依题意,可得且直线过原点，设直线的解析式为y=kx,则解得

6、所以直线l的解析式为可证均为等边三角形，可求得：①所以点的坐标为②点与点A重合,所以点的坐标为(0,2)，③点与点A关于x轴对称,所以点的坐标为(0,−2)，④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N，且所以点的坐标为学科&网综合所述，到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为：3．（陕西省西安市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2平移，使平移后的抛物线经过点A（–3，0）、B（1，0）．(1)求平移后的抛物线的表达式．(2)设平移后的抛物线交y轴于点C，在平移后的抛物线的对称轴上有一动点P，当BP与CP之和最小时，P点坐标是多少？(3)若y=x2与平移后的

7、抛物线对称轴交于D点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点M，使得以M、O、D为顶点的三角形△BOD相似？若存在，求点M坐标；若不存在，说明理由．【来源】陕西省西安市西安铁一2017-2018学年九年级下第五次模拟考试数学试卷（2）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，与y轴的交点C（0，﹣3），则点C关于直线x=﹣1的对称点C′（﹣2，﹣3），如图1，连接B，C′，与直线x=﹣1的交点即为所求点P，由B（1，0），C′（﹣2，﹣3）可得直线BC′解析式为y=x﹣1，则，解得，所以点P