概率论重点课后题附标准答案5

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1、第五章随机变量的数字特征一、大纲要求（1）理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。（2）掌握常用分布的数字特征.（3）会根据一维随机变量的概率分布求其函数的数学期望.（4）会根据二维随机变量的联合概率分布求其函数的数学期望.离散型：连续型：二、重点知识结构图定义随机变量的数学期望，相互独立数字特征性质一维随机变量函数的数学期望二维定义方差性质独立二项分布，泊松分布，离散型常用分布的均匀分布，，指数分布分布，正态分布，，

2、数字特征连续型协方差两个随机变量相关系数三、基础知识1.随机变量的数学期望（1）离散型随机变量的数学期望定义若离散型随机变量的分布律是，，且级数绝对收敛，则称此级数的和为的数学期望（或均值），记为.即简单地说，离散型随机变量的数学期望等于各个取值与对应概率的乘积之和.（2）连续型随机变量的数学期望定义若随机变量有概率密度函数，并且积分绝对收敛，则称此积分为的数学期望，记为，即2.随机变量函数的数学期望（1）离散型随机变量函数的数学期望设二维离散型随机变量的分布律为如果绝对收敛，则的数学期望存在，且有（2）连续型随机变量函

3、数的数学期望设二维连续型随机变量的分布密度函数为，如果绝对收敛，则的数学期望存在，且有特别有式中，为的分布密度函数.3.数学期望的性质性质1一个常数的数学期望等于这个常数，即.性质2设是常数，若随机变量的数学期望存在，则也存在，并且有.性质3若随机变量的数学期望存在，则的数学期望也存在，并且有.性质4若性质3的条件成立，且相互独立，则存在，且有.4.方差和标准差定义设是一个随机变量，若存在，则称为的方差，记作，即.称为的标准差或均方差.对于离散型随机变量，若有分布律，则.对于连续型随机变量，若有密度函数，则5.方差的性质

4、性质1（是常数）.性质2（是任意常数）.性质3当相互独立时，.性质4的充要条件是以概率1取常数，即（显然，应有）.6.协方差与相关系数对于随机变量，若存在，则称其为随机变量的协方差，记作.若的方差都不等于零.称为随机变量的相关系数.定理1对给定的二维随机变量，（1）若独立，则；（2）.定理2对给定的二维随机变量，为的相互系数，（1）若独立，则；（2），当且仅当有严格的线性关系时，等号成立.若服从二维正态分布，则独立的充要条件是不相关，即.定理3若是二维随机变量，则（1）；（2）.对不相关的随机变量，必有，若是两两独立的随

5、机变量，则必有7.矩定义设为随机变量，为常数，为正整数，则称为关于点的阶矩.（1）当时，称为的阶原点矩；（2）当时，称为的阶中心矩.四、典型例题例1设随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量则方差=_________.解的密度函数为，，因此例2设随机变量的方差存在且不等于0，则是（）.（A）不相关的充分条件，但不是必要条件（B）独立的必要条件，但不是充分条件（C）不相关的充分必要条件（D）独立的充分必要条件解若独立，则一定有.但若，则不一定独立.因此是独立的充分条件，但不是必要条件.因此B项不正确.从而D项也不正确.例3设

6、随机变量的概率密度为已知，求和的值解由，得又因为所以，例4设是两个事件，则随机变量，试证明随机变量不相关的充分必要条件是相互独立.证设，由数学期望定义可得同理由于只取两个可能值1和-1，可见所以从而又因为不相关的充要条件为，即即相互独立.例5若连续型随机变量的密度函数为已知，，求系数.解由于，所以，即（1）已知，所以有，即（2）由知，所以，即（3）联立式（1）（2）（3），解得.例6假设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量（单位：t），已知服从上的均匀分布，设每售出这种商品1t，可为国家挣得外汇3万元，但

7、若销售不出而囤积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元，问应组织多少货源，才能使国家的收益最大？聞創沟燴鐺險爱氇谴净。解用表示预备某年出口的此种商品量（），表示获得的收益（单位：万元），则从而每年平均收益为故当时，可使平均收益达到最大.例7设袋中有号的球个，从中摸出一球，试求所得号码的数学期望.解以表示摸出一球的号码数，注意袋中球的总数为，即有从而，的数学期望为例8设为次独立试验中事件出现的次数，在第次试验中事件出现的概率为，求，并证明：在（常数）的条件下，当且仅当时，达到最大.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。[分析]在证明是，将进行正

8、确的合并时解答本题的关键.解设则互相独立且具有相同的分布：01于是，由于，则当时，有所以，当且仅当时，最大.例9设随机变量服从均值为2、方差为的正态分布，且，求.[分析]求正态分布的概率时，先将其转化为标准正态分布，在查表，即可求得结果.所用定理为：若，则.这个定理一定要熟练掌握.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。解由于所以有因