对三个常用坐标系单位矢量的认识

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1、学习报告一——对三个常用坐标系单位矢量的认识作者：英才实验学院09级四班甘骏2900104007AbstractThisarticleissupposedtogiveaantinomytoshowhowdiffrerentthethreecoordinatesystemsare.Anditwilltellthereason.Atlastthereisanotherantinomy.【关键字】悖论直角，圆柱，球坐标系【引言】例题：将位于球坐标系下的P点（1，30°，90°）处的矢量A=eθ,先在直角坐标系下表示出其表达式，然后再将所得到的表达式，重新表达成

2、球坐标系下表出。解：A=eθ=excosθcosФ+eycosθsinФ+ez(-sinФ)=ex·0+ey·32+ez(-12)=32ey-12ez⑴重新表示成球坐标公式有：A=32ey-12ez=32（ersinθsinФ+eθ+eycosθsinФ+eФcosФ）-12(ercosθ-eθsinθ)=32（er12+eθ+ey32+eФ0）-12(er32-eθ12)=eθ⑵将⑴式结果表示在直角坐标系中，会出现一个怪异的结果：A=eθ=er这显然是一个悖论，但是又是合理的。本文将对此进行分析。【正文】在⑴式推导过程中，运用了向量的运算。由于向量的可

3、平移特性，在进行运算过程中，实际上对向量A进行了平移变换，将其起点平移到了坐标原点，而不是之前的P点。所以最终得到的结果是er。从得到这个悖论的推导过程，可看出直角坐标系和球坐标系的特点及联系，再类似考虑柱坐标系，可知三种常用坐标系是各有特点和联系的。直角坐标系柱坐标系球坐标系长度元dlx=dx,dly=dy,dlz=dzdlρ=dρ,dlΦ=ρdΦ,dlz=dzdlr=dr,dlθ=rdθ,dlΦ=rsinθdΦ面积元dSx=dydz,dSy=dxdz,dSz=dxdydSρ=ρdΦdz,dSΦ=dρdz,dSz=ρdρdΦdSr=r2sinθdθdΦ

4、,dSθ=rsinθdrdθ,dSΦ=rdrdθ体积元dV=dxdydzdV=ρdρdΦdzdV=r2sinθdrdθdΦ直角坐标系：直角坐标系是生产生活中应用最广泛的坐标系，因为在直角坐标系下，得到的数学表达式最直观，最符合人类的经验认识。但是真正的科学研究及实际工程中，可建立的标准直角坐标系是非常少的。即直角坐标系可作为人们最方便理解认识某一问题的工具，而不是好的解决问题的工具。柱坐标系与球坐标系：这两类坐标系是在科学工程中常用到的。因为它们更接近于工程模型，可以简化计算表达式。与直角坐标系的联系是都是有3个两两垂直的向量作为基，构成向量空间。但是这

5、两类坐标系不直观。因为用eФ和eθ表示的向量随着取点不同，方向和大小在不断改变。deθr=rdeθ+eθdr和deФr=rdeФ+eФdr可知，这两个基向量实际上由两个表达式确定，在应用过程中可能因已知条件不足产生同一个向量不同表达的悖论。三种常用坐标系关系变换如下表：exeyezepcosФsinФ0eФ-sinФcosФ0ez001exeyezersinθcosФsinθsinФcosθeθcosθcosФcosθsinФ-sinθeФ-sinФcosФ0epeФezersinθ0cosθeθcosθ0-sinθeФ010由于角度向量的不确定性，很容

6、易得到悖论，举例如下：将引言中的向量A用柱坐标系表示，可得：A=eθ=ercosθ+eФ0+ez(-sinФ)=32er-12ez⑶比较⑶和⑴可得到er=ey。由于ez=ez.三个基本向量两两垂直。可确定第三个向量相等或者反向。则直角坐标系与柱坐标系等价。这显然是一个悖论。实际上，此结论只在Ф=90°时成立。随着Ф不断变化，柱坐标中的基向量er和eФ的方向不断变化，不像直角坐标系固定，即er=ey不恒成立。【参考资料】《工科数学分析基础》马知恩王锦森主编高等教育出版社《电磁场与电磁波》谢处方饶克谨编高等教育出版社