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1、2009年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如果复数是纯虚数,则实数的值为A.0B.2C.0或3D.2或32.已知函数则函数的零点个数为A.1B.2C.3D.43.已知全集,集合≤,,则A.B.C.D.4.命题“,”的否定是A.,≥0B.,C.,≥0D.,5.已知点,直线:,点是直线上的一点,若,则点的轨迹方程为A.B.C.D.6.函数的导函数在区间上的图像大致是图1A.B.C.D.7.现有4种不同颜色要对如图1所示的四个部分进行着色,要求有公
2、共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有A.24种B.30种C.36种D.48种开始输入y=x否是否是图2结束输出y=1y=x24x+48.设直线与球有且只有一个公共点,从直线出发的两个半平面、截球的两个截面圆的半径分别为和,二面角的平面角为,则球的表面积为A.B.C.D.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~12题)9.在空间直角坐标系中,以点,,为顶点的是以为斜边的等腰直角三角形,则实数的值为.数学(理科)试题参考答案及评分标准第10页共10页10.在某项才艺竞赛中,有9位评委,主办单位规定计算参赛者
3、比赛成绩的规则如下:剔除评委中的一个最高分和一个最低分后,再计算其他7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩.现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分,若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分,则这位参赛者的比赛成绩为分.11.阅读如图2所示的程序框图,若输出的值为0,则输入的值为.12.在平面内有≥条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,若这条直线把平面分成个平面区域,则的值是,的表达式是.(二)选做题(13~15题,考生只能从中选做两题)13.(几何证明选讲选做题)图3如图3所示,在四边形中,,,则的值为.14.(不等式
4、选讲选做题)函数的最小值为 .15.(坐标系与参数方程选做题)直线被圆(为参数)所截得的弦长为.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)已知向量,,设函数.(1)求函数的值域;(2)已知锐角的三个内角分别为,,,若,,求的值.17.(本小题满分12分)图4在长方体中,,过、、三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图4所示的几何体,且这个几何体的体积为.(1)求棱的长;(2)在线段上是否存在点,使直线与垂直,如果存在,求线段的长,如果不存在,请说明理由.数学(理科)试题参考答案及评分标准第10页共
5、10页18.(本小题满分14分)已知等比数列的前项和为,若,,成等差数列,试判断,,是否成等差数列,并证明你的结论.19.(本小题满分14分)一个口袋中装有2个白球和个红球(≥2且),每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中),若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖.(1)试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率;(2)若,求三次摸球恰有一次中奖的概率;(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为,当为何值时,最大?20.(本小题满分14分)已知函数,,其中.(1)若是函数的极值点,求实数的值;(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有≥成立,求实数的取值范围.
6、21.(本小题满分14分)已知双曲线:的离心率为,左、右焦点分别为、,在双曲线上有一点,使,且的面积为.(1)求双曲线的方程;(2)过点的动直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点、,在线段上取异于、的点,满足.证明:点总在某定直线上.数学(理科)试题参考答案及评分标准第10页共10页2009年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)试题参考答案及评分标准一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分.题号12345678答案ACBCBADD二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中13~15题是选做题,考生只能选做
7、二题,三题全答的,只计算前二题得分.第12题第1个空3分,第2个空2分.9.210.7911.0或212.16,13.114.315.6三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)解:(1).∵,∴函数的值域为.(2)∵,,∴,.∵都为锐角,∴,.∴.∴的值为.17.(本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等基本知识,考查数形结合的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)解:(1)设,∵几
8、何体的体积为,∴,即,即
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