如何把握概率的概念

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1、如何把握概率的概念概率的内容在中学已经出现好几年了。从目前在教学中的实际情况来看，主要的问题是，教学的重点被放在了用排列组合计算古典概率上，放在了概率、均值、方差等的数值计算上，而忽略了对概率等概念本身的理解。另外，现在高考中的应用题大都变成了概率题，实际上，这些题目只是计算一些有应用背景的概率值，并不能很好地体现数学的应用。这种教学使得学生学完概率这部分内容后，并不能很好地认识周围发生的随机现象，如天气预报，彩票中奖等。而中学引入概率的内容，是希望学生能对随机现象有一个初步的认识，使他们在今后的学习和工作中，对随机现

2、象中出现的一些问题，能有一个正确的分析。本文将主要谈概率的概念和如何理解其实质。概率的定义   概率的概念笼统说并不难，但若深入到理论或哲学中去讨论，问题就有一大堆。大多数数学家、概率论专家并不关心这种讨论，通常把这种问题留给哲学家去处理。在数学上，概率的概念是用公理化的形式定义的。即使是大学数学系的学生，由于他们大都不学‘测度论’，也无法完整地理解这种公理体系的意义。这里希望教师了解的是，在各种教科书中出现的‘概率统计定义’,‘古典概率定义’,‘几何概率定义’都是一些描述性的说法，教师不应该过分地去揣摩，探究那里的用

3、语，而应理解其实质。例如，概率的统计定义通常可以这样叙述：在相同的条件下做大量的重复试验，一个事件出现的次数k和总的试验次数n之比，称为这个事件在这n次试验中出现的频率。当试验次数n很大时，频率将‘稳定’在一个常数p附近。n越大，频率偏离这个常数p大的可能性越小。这个常数p称为该事件的概率。      有些人去探讨‘试验’等词的定义。把‘做一次试验’定义为‘条件实现一次’。事实上，‘做一次试验’并不难理解。如掷一个硬币，摸三个红球，取十个产品等等，个别复杂的试验也不难向学生解释。把‘做一次试验’定义为‘条件实现一次’，

4、反而更难让人理解。什么叫‘条件’？什么叫‘实现’？这显然是不恰当的。何况‘试验’根本不是数学中的名词。我们要清楚上述定义只是描述性的，而且它有循环定义之嫌。因为定义中出现了‘可能性’。这指的就是概率.(类似地在古典概率定义中通常出现‘等可能性’)。你可以设法避免这类词出现，但其本质的意义无法避免。事实上，概率的统计定义的数学描述是（弱）贝努里大数律（老师们在大学都学过）：              它说的是：当试验次数时，一个事件发生的频率与某个常数p的偏差大于任一个正常数的可能性趋于零。之所以不能用这个式子中的常数p

5、作为‘概率’的定义，是因为在这个式子中已经有了‘概率’。那么，我们在中学的教学中，应该如何把握概率的概念呢？‘理解其实质’是指什么呢？我想主要应该理解以下几点：(1)     我们所讨论的现象是可以做‘重复试验’的。换句话说，并非所有不确定现象都是概率论研究的对象。例如，本·拉登是否还活着，某某人今天脸色不好是否不高兴，等等。这类问题没有重复试验的意义，属于人们的主观猜测与愿望。尽管人们有时也说：‘十有八九他不高兴’,‘我认为拉登活着的可能性只有百分之十’。这被称为主观概率。对主观概率的研究并非没有意义，但并非我们概率

6、论研究的对象。概率论描述的是可以重复试验的模型。‘重复试验’是指条件相同下的试验，严格说在现实中两次试验条件完全相同是不可能的，这里给出的是数学模型。至于现实中哪些问题能用这个数学模型来近似描述，这是另一个问题。（2）频率和概率的关系。频率反映了事件发生频繁的程度，从而可以用来度量事件发生的可能性大小。但频率是随机的，是这n次试验中的频率。换另外n次试验，一般说，频率将不同，而概率是一个客观存在的常数。因此，人们用概率来度量事件发生的可能性。不过，在现实中，概率往往是不知道的，通常用频率来估计概率。恰如在现实中，一个物

7、体的体积是一个客观的常数，但其值是未知的，我们是用测量值来估计其体积，而每次测量都会有误差（即测量值是随机的）。(3)概率反映的是多次试验中频率的稳定性。有人往往错误地以为，掷一个均匀硬币，正面出现的概率等于二分之一，就应该两次试验中出现一次正面。掷一个均匀骰子，每掷六次，各点都应该出现一次。否则就是不均匀。事实上，频率的稳定性反映的是大量试验中出现的性质，其稳定性要在试验次数很多时才体现出来。对个别的几次试验，由于其随机性，是无法预料的。(4)出现频率偏离概率较大的情形是可能的，这是随机现象的特性。在概率的教学中，对

8、一些学生容易产生误解的地方，有人建议用试验的办法帮助学生理解，这当然是很好的。例如，在讨论抽签与抽取顺序无关时，就可以用试验来模拟。但必须注意到频率偏离概率大的情形。例如,扔一百个均匀硬币，一面出现41个，另一面出现59个，是不奇怪的。对此教师应有充分的认识。（5）结果的随机性不同于结果未知。比如，至今人们还不知道哥德巴赫猜想是否