任景业：听清学生话的意思

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1、听清学生话的意思北京：《基础教育课程》2010年第6期任景业教育部北京师范大学基础教育课程中心数学工作室，山东茌平县杜郎口中学。案例1：他对分数理解了吗？在学生学习分数加减时，学生常常会犯下面的错误：计算：1/2+1/4=（1+1）/（2+4）=2/6。个中原因是什么？学生是怎么思考的？当然不同的学生会有不同的原因。这里不想展示针对这一错误的多种可能的原因，仅就学生的一种思路做一分析。学生：“老师，您看，1/2是把这个圆平均分成了2份，取了其中的一份；1/4是把这个圆平均分成了4，取了其中的一份。合起来就有两个圆，两个圆一共分成了6份，阴影部分占2份，所以用分数2/6表示。”此访谈

2、由刘全祥老师提供，特此致谢。这是一位老师对学生的访谈，我们且相信学生说的是真实的思考过程。“1/2是把这个圆平均分成了2份，取了其中的一份；1/4是把这个圆平均分成了4，取了其中的一份”——从这两句话分析，学生对分数1/2，1/4似乎是理解的：知道是先分后取，1/2，1/4表示的是取出的那一部分；所凭借的模型也是我们老师们惯用的“分物”的模型。“合起来就有两个圆，两个圆一共分成了6份，阴影部分占2份”——在实施运算时，“阴影部分加阴影部分”，“一个圆加一个圆”，说明他知道“相同的”才能相加，是用到的“整体加整体”“部分加部分”。但他的运算是基于整数加法的意义的，是对整数加法的一种“

3、扩充和推广”。在这句话中，我们看到学生的加减只是针对图形的，完全摆脱了图形所表示的意义，也就是他最初的对分数的理解。正是他对这个模型的应用意义的“遗忘”，才导致了下面的错误。造成这种“遗忘”的是什么原因？仅仅是记忆品质的原因吗？如果是，我们可以从防止遗忘的角度去改进教学，如果不是，我们则需要探究相应的教学策略。由此，我们再仔细分析一下学生的语言。“两个圆一共分成了6份，阴影部分占2份”。在说“圆平均分成了2份”时，学生用到了平均，而在“两个圆一共分成了6份”时，学生没有用“平均分”，再联系到学生画出的图形，也没有显示“平均分”。而平均分应当是理解分数中的一个很关键的条件。由此，我们

4、可以看出，错误的原因不是对分数意义的“遗忘”，重要的是对分数本身的概念理解不到位。前面理解1／2,1／4时说到的“平均分”是一种外在的描述，还没有意识到是必须的、不可或缺的一个条件。当然，他也还没有理解，分数的加法1／2＋1／4是经过“先分后取”以后，把“取”出的部分加起来再与原来的整体比较。如此看来，学生产生的错误原因并不是一种“遗忘”，并不是运算和分数概念的一种分离。根源还是在于分数的概念的理解。这需要我们在引入概念、在新的情境辨析概念、在解决问题中运用概念的多种背景下，不断地丰富和加深对概念的理解和认识。它提醒我们：数学是一种语言，它特有的符号代表了量和量之间的关系，而学生对

5、这种语言的意义及其特有的句法结构的理解并不是一次能学到位的。案例2：他们的方法是一样的吗？这是一节四年级下册《三角形内角和》的片段。在探究得出三角形内角和是180°后，学生顺利完成了基础练习，接下来是一道拓展练习题：四边形的内角和是多少？学生独立思考后，有下面一段课堂对话。生1：四边形内角和是360°。长方形四个内角都是直角，和是360°，所以我猜想一般四边形内角和也是360°。师：他从特殊到一般，得出四边形内角和是360°的猜想，大家能进一步说明为什么吗？生2：我在一个普通四边形里画一条线（展示她的画法，实际上是一条对角线），把它分成两个三角形，每个三角形内角和都是180°，两个

6、就是360°。师：大家同意她的意见吗？学生表示同意，正当我准备进行课堂小结时，一位学生站了起来，说了她的发现。生3：老师，我不同意刚才那位同学的意见，我认为她的方法是错的。我用她的方法试了试，在四边形里画两条这样的线，就分成四个三角形，内角和一共是720°，多了360°。她的一番解释，让我犯难了。能简单地说她的发现是错的吗？怎样让大家都理解这多出的360°多在哪里呢？我把问题抛给了学生。师：这位同学很细心，发现画两条对角线就多出了360°。为什么会多出360°呢？请大家和这位同学一样，在四边形里画出两条对角线，仔细思考，分成的四个三角形内角和还等于原来四边形的内角和吗？然后小组讨论

7、。这次意外的缘起是学生一次错误的“发现”，这个错误本身富有研究价值。讨论中学生发现，多出360°是因为在对角线交点处，新增加了一个周角，周角恰好是360°。而这个周角不属于四边形的内角，在计算四边形内角和时，要减掉这多出来的360°。赵自红，满玲《捕捉意外，生成精彩》，见《新世纪小学数学》2009年第3期。》在上面的教学片断中，教师的处理基本是恰当的。学生3质疑学生2的方法，教师没有解释学生错误所在，而是将这个“球”抛给学生让学生讨论，通过讨论解决问题。现在的问题是，