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时间:2019-03-10
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1、听清学生话的意思北京:《基础教育课程》2010年第6期任景业教育部北京师范大学基础教育课程中心数学工作室,山东茌平县杜郎口中学。案例1:他对分数理解了吗?在学生学习分数加减时,学生常常会犯下面的错误:计算:1/2+1/4=(1+1)/(2+4)=2/6。个中原因是什么?学生是怎么思考的?当然不同的学生会有不同的原因。这里不想展示针对这一错误的多种可能的原因,仅就学生的一种思路做一分析。学生:“老师,您看,1/2是把这个圆平均分成了2份,取了其中的一份;1/4是把这个圆平均分成了4,取了其中的一份。合起来就有两个圆,两个圆一共分成了6份,阴影部分占2份,所以用分数2/6表示。”此访谈
2、由刘全祥老师提供,特此致谢。这是一位老师对学生的访谈,我们且相信学生说的是真实的思考过程。“1/2是把这个圆平均分成了2份,取了其中的一份;1/4是把这个圆平均分成了4,取了其中的一份”——从这两句话分析,学生对分数1/2,1/4似乎是理解的:知道是先分后取,1/2,1/4表示的是取出的那一部分;所凭借的模型也是我们老师们惯用的“分物”的模型。“合起来就有两个圆,两个圆一共分成了6份,阴影部分占2份”——在实施运算时,“阴影部分加阴影部分”,“一个圆加一个圆”,说明他知道“相同的”才能相加,是用到的“整体加整体”“部分加部分”。但他的运算是基于整数加法的意义的,是对整数加法的一种“
3、扩充和推广”。在这句话中,我们看到学生的加减只是针对图形的,完全摆脱了图形所表示的意义,也就是他最初的对分数的理解。正是他对这个模型的应用意义的“遗忘”,才导致了下面的错误。造成这种“遗忘”的是什么原因?仅仅是记忆品质的原因吗?如果是,我们可以从防止遗忘的角度去改进教学,如果不是,我们则需要探究相应的教学策略。由此,我们再仔细分析一下学生的语言。“两个圆一共分成了6份,阴影部分占2份”。在说“圆平均分成了2份”时,学生用到了平均,而在“两个圆一共分成了6份”时,学生没有用“平均分”,再联系到学生画出的图形,也没有显示“平均分”。而平均分应当是理解分数中的一个很关键的条件。由此,我们
4、可以看出,错误的原因不是对分数意义的“遗忘”,重要的是对分数本身的概念理解不到位。前面理解1/2,1/4时说到的“平均分”是一种外在的描述,还没有意识到是必须的、不可或缺的一个条件。当然,他也还没有理解,分数的加法1/2+1/4是经过“先分后取”以后,把“取”出的部分加起来再与原来的整体比较。如此看来,学生产生的错误原因并不是一种“遗忘”,并不是运算和分数概念的一种分离。根源还是在于分数的概念的理解。这需要我们在引入概念、在新的情境辨析概念、在解决问题中运用概念的多种背景下,不断地丰富和加深对概念的理解和认识。它提醒我们:数学是一种语言,它特有的符号代表了量和量之间的关系,而学生对
5、这种语言的意义及其特有的句法结构的理解并不是一次能学到位的。案例2:他们的方法是一样的吗?这是一节四年级下册《三角形内角和》的片段。在探究得出三角形内角和是180°后,学生顺利完成了基础练习,接下来是一道拓展练习题:四边形的内角和是多少?学生独立思考后,有下面一段课堂对话。生1:四边形内角和是360°。长方形四个内角都是直角,和是360°,所以我猜想一般四边形内角和也是360°。师:他从特殊到一般,得出四边形内角和是360°的猜想,大家能进一步说明为什么吗?生2:我在一个普通四边形里画一条线(展示她的画法,实际上是一条对角线),把它分成两个三角形,每个三角形内角和都是180°,两个
6、就是360°。师:大家同意她的意见吗?学生表示同意,正当我准备进行课堂小结时,一位学生站了起来,说了她的发现。生3:老师,我不同意刚才那位同学的意见,我认为她的方法是错的。我用她的方法试了试,在四边形里画两条这样的线,就分成四个三角形,内角和一共是720°,多了360°。她的一番解释,让我犯难了。能简单地说她的发现是错的吗?怎样让大家都理解这多出的360°多在哪里呢?我把问题抛给了学生。师:这位同学很细心,发现画两条对角线就多出了360°。为什么会多出360°呢?请大家和这位同学一样,在四边形里画出两条对角线,仔细思考,分成的四个三角形内角和还等于原来四边形的内角和吗?然后小组讨论
7、。这次意外的缘起是学生一次错误的“发现”,这个错误本身富有研究价值。讨论中学生发现,多出360°是因为在对角线交点处,新增加了一个周角,周角恰好是360°。而这个周角不属于四边形的内角,在计算四边形内角和时,要减掉这多出来的360°。赵自红,满玲《捕捉意外,生成精彩》,见《新世纪小学数学》2009年第3期。》在上面的教学片断中,教师的处理基本是恰当的。学生3质疑学生2的方法,教师没有解释学生错误所在,而是将这个“球”抛给学生让学生讨论,通过讨论解决问题。现在的问题是,
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