复变函数作业资料

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1、(一)复数的概念1.复数的概念：，是实数,..注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.①两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等。②一个复数等于零，当且仅当它的实部与虚部同时等于零。③称复数x+iy和x-iy互为共轭复数。2.复数的表示1）模：；2）幅角：在时，矢量与轴正向的夹角，记为（多值函数）；主值是位于中的幅角。（有无穷个值，是复数z的辐角的主值=+2kπ矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。3）与之间的关系如下：当；当；4）三角表示：，其中；注：中间一定是“+”号。（r=

2、z

3、）5）指数表示：，其中。(二)复数的运算1.加减法：若，则··2.乘除法：191）若，则

4、；。2）若,则；3.乘幂与方根①对任何整数n,有，特别地当r=1时，有，即②若则称复数w为复数z的n次方根，记作设，则有故（k=0,..(n-1）与表示的是同一个复数。一个圆心在原点，半径为R的圆可表示为：

5、z

6、=R.一个圆心在，半径为R的圆可表示为：（三）复变函数1．复变函数2．复初等函数1）指数函数：，在平面处处可导，处处解析；且。注：是以为周期的周期函数。（注意与实函数不同）19⑵对数函数：（多值函数）；主值：。（单值函数）的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且；注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：4）三角函数：在平面内解析，且注

7、：有界性不再成立；（与实函数不同）双曲函数；奇函数，是偶函数。在平面内解析，且。导数1．复变函数的导数1）点可导：=；2）区域可导：在区域内点点可导。2．解析函数的概念1）点解析：在及其的邻域内可导，称在点解析；2）区域解析：在区域内每一点解析，称在区域内解析；3）若在点不解析，称为的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；19聞創沟燴鐺險爱氇谴净。（五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：在可导和在可微，且在处满足条件：,此时，有。2．函数解析的充要条件：在区域内解析和在在内可微，且

8、满足条件：；此时。注意：若在区域具有一阶连续偏导数，则在区域内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时，函数一定是可导或解析的。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。3．函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义）2）利用充要条件（函数以形式给出）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数是以的形式给出）（八）解析函数与调和函数的关系1．调和函数的概念：若二元实函数在内有二阶连续偏导数且满足，为内的调和函数。2．解析函数与调和函数的关系19l解析函数的实部与虚部都是调和函数，而且它们的一阶偏导数满足柯西—黎曼方程，则称虚部为实部的共轭调和函数。

9、酽锕极額閉镇桧猪訣锥。l两个调和函数与构成的函数不一定是解析函数；但是若如果满足柯西—黎曼方程，则一定是解析函数。3．已知解析函数的实部或虚部，求解析函数的方法。1）偏微分法：若已知实部，利用条件，得；对两边积分，得（*）再对（*）式两边对求偏导，得（**）由条件，，得，可求出；代入（*）式，可求得虚部。2）线积分法：若已知实部，利用条件可得，故虚部为；由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中与是解析区域中的两点。3）不定积分法：若已知实部，根据解析函数的导数公式和条件得知，将此式右端表示成的函数，由于仍为解析函数，故19（为实常数）注：若已知虚部也可用类

10、似方法求出实部（六）复变函数积分的概念与性质1．复变函数积分的概念：，是光滑曲线。注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2．复变函数积分的性质1）（与的方向相反）；2）是常数；3）若曲线由与连接而成，则。3．复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：；（常用于理论证明）2）参数方法：设曲线：，其中对应曲线的起点，对应曲线的终点，则。（被积函数不解析时，积分结果与路径有关；反之，无关）（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1．柯西定理：设在单连域内解析，为内任一闭曲线，则2．复合闭路定理：设在多连域内解析，为内任意一条简单闭曲线，是内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且

11、以为边界的区域全含于内，则彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。①其中与均取正向；19②，其中由及所组成的复合闭路。3．闭路变形原理：一个在区域内的解析函数沿闭曲线的积分，不因在内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中不经过使不解析的奇点。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。4．解析函数沿非闭曲线的积分：设在单连域内解析，为在内的一个原函数，则说明：解析函数沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5。柯西积分公式：设f(z)在简单正向闭曲线c及其所围区域D内处处解析，为D内任意一点，那么即6．解析函数的导数：解析函数的导数仍