线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题集与答案

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1、线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案1．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(第1题)(1)求证：BC⊥AD；2如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．（1）求证：AB⊥BC；3.如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．4.如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，求证：SH⊥平面ABC.5.如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且S

2、A=SB=SC，点D为斜边AC的中点.　　(1)求证：SD⊥平面ABC；　　(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.6.证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D7.如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M.求证：CD⊥平面BDM.8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．9.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．10.如图，在长方体

3、ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值.11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC^平面PBC。12..如图1-10-3所示，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，若截取SA=SB=SC.求证：平面ABC⊥平面BSC13.如图1-10-5所示，在四面体ABCD中，BD=a,AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.14

4、.如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．15.如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．　　　　　　　　　　　　(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　16.如图1，在正方体中，为的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD答案与提示：1.证明：(1)取BC中点O，连结AO，DO．∵△ABC，△BCD都是边长为

5、4的正三角形，∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O，∴BC⊥平面AOD．又AD平面AOD，∴BC⊥AD．2.【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．3.【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，

6、取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，∵AF面PAD∴CD⊥AF，又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GFCD又AECD，∴GFAE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．（2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与△PCD中，∠P为公共角，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴，设AD=2，∴PF=，PC=，∴FH=∴A到平面P

7、EC的距离为．4.【证明】取SA的中点E，连接EC，EB.∵SB=AB,SC=AC,∴SA⊥BE,SA⊥CE.又∵CE∩BE=E,∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE5.证明：(1)因为SA=SC，D为AC的中点，　　　　　　所以SD⊥AC.　　　　　　连接BD.　　　在Rt△ABC中，有AD=DC=DB，　　　　　　所以△SDB≌△SDA，　　所以∠SDB=∠SDA，　　　所以SD⊥BD.　　　　　　又AC∩BD=D，　　所以SD⊥平面ABC.　　　　　(2)因为AB=BC，