基于相等代数的几类代数结构上的态和内态的研究

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1、分类号：O153.1学校代码：10697密级：公开学号：201310090博士学位论文DOCTORALDISSERTATION基于相等代数的几类代数结构上的态和内态的研究学科名称：应用数学作者:程晓云指导老师：辛小龙教授西北大学学位评定委员会二〇一八年TheResearchofStatesandInternalStatesonSomeAlgebraicStructuresBasedonEqualityAlgebrasAdissertationsubmittedtoNorthwestUniversityinpartialfulfillment

2、oftherequirementsforthedegreeofDoctorofPhilosophyinScienceByChengXiaoYunSupervisor:XinXiaoLongProfessorMay2018摘要相等代数是高阶模糊逻辑对应的代数系统,伪相等代数是相等代数的非可换推广,超相等代数是相等代数的提升.因为等价相等代数等价于BCK-交半格,BCK-代数是BCI-代数的真子类,故BCI-代数可看作等价相等代数的推广.本文研究基于相等代数的三类代数结构:BCI-代数、伪相等代数、超相等代数上的态理论.一方面,通过态和内态研究

3、了逻辑代数的结构;另一方面,通过代数方法进一步完善模糊逻辑中的概率问题.第二章研究了BCI-代数上的内态.首先,构建BCI-代数上的内态的公理化体系,并给出一些非平凡例子,讨论了态理想、极大态理想和素态理想之间的关系,证明了在态BCI-代数中,全体闭态理想之集SIC(L;)和全体态同余之集Con(L;)之间存在一一对应,找到了非平凡次直不可约态BCI-代数的像空间(L)成为L的非平凡次直不可约子空间的条件.其次,引入BCI-代数上的state内态射,通过state内态射和内态,对可换BCI-代数、p-半单BCI-代数、（正）关联BCI

4、-代数进行了刻画.最后,引入BCI-代数上的左-右（右-左）态乘子,讨论了左（右）态乘子和左（右）导子的关系,得到了L上的内态是左右（右左）态乘子当且仅当是左右（右左）导子.而且,借助左（右）态乘子,刻画了几类特殊BCI-代数.第三章研究了伪相等代数上的态.首先,引入伪相等代数上的广义态映射（简称GS-态）,包括两类特殊情况:广义态（简称G-态）和广义内态（简称GI-态）,给出了GS-态,G-态和GI-态的一些实例,得到了它们的一些性质.其次,研究了伪相等代数上的Bosbach态和Riecan态,探讨了这两类态的存在性,给出了Bosb

5、ach态的刻画;重点讨论了伪相等代数上的Bosbach态、Riecan态及state态射之间的关系,证明了线性伪相等代数上的state态射和Bosbach态等价及对合伪相等代数上的Bosbach态和Riecan态等价.最后,探讨了伪相等代数上的广义态映射、态及内态之间i的内在联系,得到如下重要结论:借助内态（或state内态射）,可以将态从像空间(X)拓展到整个空间X上.此外,从一定意义上说,伪相等代数上的广义态映射可以看作态、内态、state态射及state内态射的统一框架.第四章研究了超相等代数上的态和内态.首先,将超理论知识应

6、用到相等代数中,建立了超相等代数系统,它是相等代数的合理推广;给出各类超滤子和超推理系统的概念,并讨论了它们之间的关系.建立了超相等代数和超EQ-代数、超BCK-代数及弱超剩余格之间的联系.同时,通过正则超同余关系构建了商超相等代数.其次,引入超相等代数上的Bosbach态和Riecan态,找到了这两类态存在的例子;借助-不变Bosbach态s,诱导了商超相等代数H=上的Bosbach态s.最后,引入超相等代数上的内态,给出了态强超推理系统的生成表示,研究了超相等代数在态作用下的像和原像,证明了格序可分好态超相等代数的极大态强超推理系

7、统是素态强超推理系统.而且,通过内态诱导了商超相等代数上的内态.关键词BCI-代数;伪相等代数;超相等代数;Bosbach/Riecan态;内态iiAbstractEqualityalgebrasarethealgebraicsystemcorrespondingtohighorderfuzzylogics,pseudoequalityalgebrasarethenoncommutativegeneralizationofequalityalgebras,andhyperequalityalgebrasaretheliftofequali

8、tyalge-bras.SinceequivalentialequalityalgebrasaretermequivalentwithBCK-meetsemilattice,an