数理统计第3章讲义(上)new

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1、第三章多维随机变量及其分布分布状况没有任何影响，反之亦然。æxöæöy第一节二维随机变量总论例：设F(x,y)=AçBC++arctan÷ç÷arctan是(ξ,)η的è3øèø4◆二维随机变量的概念：设ξ与η都是随机变量，则(ξ,)η称二维联合分布函数：①求A、B、C。②求ξ以及η的边际分布函数。随机变量。(ξ,)η也可以视为xoy平面上的一个随机点。要研究③问ξ与η是否相互独立，并求P(0£ξη<=3

2、2)。(ξ,)η，主要是要研究其分布状况，也就是要弄清：(ξ,)η可能pp解：①1=F(+¥,+¥)=A(BC++)()，0=F(-¥,)-¥落在平面上的哪些地

3、方，以及落在不同地方的可能性大小如何。22ppp用(ξ,)η的散点图可以直观地描述(ξ,)η的分布状况。要严格地=A(BC--)()，0=F(0,-¥)=-ABC()，F(-¥,0)222描述(ξ,)η的分布状况，可以用联合分布函数。p1pp=0=-A()BC，以上几式联立解得：A=,,BC==。2p222◆(ξ,)η的联合分布函数：①定义：F(x,yP)=(ξ<

4、。详见课本P.93。11y=+parctan。③F(x,y)=Fξ(x)Fyη()，∴ξ与η独立。24③作用：联合分布函数完整地描述了二维随机变量的分布状况。P(0£ξη<3

5、=2)=P(0£ξ<3)=-=FF(3)(0)1/4。因为可以证明，利用F(xy,)，可以计算出(ξ,)η落入任何一个ξξ平面区域D内的概率。课本P.93的(3.2)式是个特例。第二节二维离散型随机变量◆边际分布函数：在(ξ,)η中，设ξ与η的分布函数分别是Fx()ξ二维离散型随机变量的联合分布列与Fyη()，分别称为ξ的边际分布函数以及η的边际分布函数。设(ξ,)η是二维离散型随机变量，则

6、(ξ,)η的联合分布列可以不难证明：（见P.101上）若(ξ,)η的联合分布函数是F(xy,)，写成通式形式，但建议尽量写成直观的表格形式，这个表格也称为则：Fξ(x)=Fx(,)+¥，Fη(y)=Fy(+¥,)。联合分布表。这个表格反映了(ξ,)η可能取哪些有序实数对，以及◆两个随机变量的独立性：取这些有序实数对的概率。具体格式可参阅课本P.94。①定义：如果(ξ,)η的联合分布函数F(x,y)=×Fξ(x)Fyη()，即对任意x,yRÎ，有P(ξ

7、互独立。分布表，应该先将ξ与η的所有可能取值找到，再画出联合分布表②结论：若ξ与η相互独立，则()ξÎB与()ηÎB也相互独立。12的“框架”，最后计算(ξ,)η取各个有序实数对的概率。其中BB12、可以是任意区间，也可以是单个实数构成的集合。(ξ,)η的联合分布表应该满足如下基本性质：表中所有概率值另外，g()ξ与h()η也相互独立，其中g与h都是连续函数。皆为非负数，且总和为1。③含义：ξ与η相互独立的意思就是：ξ的具体取值情况对η的概率统计讲义第13页二维离散型随机变量的边际分布列二维离散型随机变量的独立性设(ξ,)η是二维离散型随机变量，则ξ的分布列也称ξ

8、的边际分布可以证明：若ξ与η皆为离散型随机变量，则ξ与η相互独立列，η的分布列也称η的边际分布列。只要将(ξ,)η的联合分布表的充要条件是：P(ξ=x,η=yP)=(ξ==xP)()ηy总成立。的各行概率之和、各列概率之和求出来，便可以得到ξ与η的边际其中x是ξ的任一可能取值，y是η的任一可能取值。分布列。边际分布列可以不专门写出来，可以直接将有关概率写在也可以说：若ξ与η皆为离散型随机变量，则ξ与η相互独立联合分布表的边上，这也正是“边际分布”一词的由来。的充要条件是：(ξ,)η的联合分布表正好是ξ的边际分布列与η的边际分布列交叉相乘的结果。（例：P.111例1

9、3）例：(ξ,)η的联合分布表如右，æ246ö则：ξ~ç÷，è0.50.30.2øæ01öη~ç÷。è0.60.4ø注：由联合分布表可以唯一地确定边际分布列，但由边际分布列不能唯一地确定联合分布表。如课本例3.8、3.9。（ξ与η相互独立）（ξ与η不相互独立）二维离散型随机变量的条件分布列二维离散型随机变量的函数的分布对于二维离散型随机变量，通过下例容易理解条件分布列的概念。设(ξ,)η是二维离散型随机变量，ζ=φξ(,)η，则ζ是个一维例：(ξ,)η的联合分布表如右，离散型随机变量。如何由(ξ,)η的联合分布列推出ζ的分布列？分别写出：①ξ的边际分布列；这个问题

10、很简单，通