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1、习题10−11.设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y),用对弧长的曲线积分分别表达:(1)这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix,Iy;(2)这曲线弧的重心坐标x,y.解在曲线弧L上任取一长度很短的小弧段ds(它的长度也记做ds),设(x,y)为小弧段ds上任一点.曲线L对于x轴和y轴的转动惯量元素分别为22dIx=yμ(x,y)ds,dIy=xμ(x,y)ds.曲线L对于x轴和y轴的转动惯量分别为I=y2μ(x,y)ds,I=x2μ(x,y)ds.x∫Ly∫L曲线L对于x轴和
2、y轴的静矩元素分别为dMx=yμ(x,y)ds,dMy=xμ(x,y)ds.曲线L的重心坐标为My∫Lxμ(x,y)dsMx∫Lyμ(x,y)dsx==,y==.M∫μ(x,y)dsM∫μ(x,y)dsLL2.利用对弧长的曲线积分的定义证明:如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1和L2,则∫f(x,y)ds=∫∫f(x,y)ds+f(x,y)ds.LLL12证明划分L,使得L1和L2的连接点永远作为一个分点,则nn1n1∑∑f(ξi,ηi)Δsi=f(ξi,ηi)Δsi+∑f(ξi,ηi)Δsi.i==11ii=n1+1令
3、λ=max{Δsi}→0,上式两边同时取极限nn1nlim∑f(ξi,ηi)Δsi=lim∑f(ξi,ηi)Δsi+lim∑f(ξi,ηi)Δsi,λ→0λ→0λ→0i=1i=1i=n1+1即得∫f(x,y)ds=∫∫f(x,y)ds+f(x,y)ds.LLL123.计算下列对弧长的曲线积分:(1)(x2+y2)nds,其中L为圆周x=acost,y=asint(0≤t≤2π);∫L2π解(x2+y2)nds=(a2cos2t+a2sin2t)n(−asint)2+(acost)2dt∫L∫02π=(a2cos2t+
4、a2sin2t)n(−asint)2+(acost)2dt∫02π=a2n+1dt=2πa2n+1.∫0(2)∫(x+y)ds,其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段;L解L的方程为y=1−x(0≤x≤1);11∫(x+y)ds=∫(x+1−x)1+[(1−x′])2dx=∫(x+1−x)2dx=2.L002(3)∫xdx,其中L为由直线y=x及抛物线y=x所围成的区域的整个边界;L2解L1:y=x(0≤x≤1),L2:y=x(0≤x≤1).∫Lxdx=∫Lxdx+∫Lxdx1211=∫x1+[(x2′])2
5、dx+∫x1+(x′)2dx001211=∫x1+4xdx+∫2xdx=5(5+62−)1.0012x2+y2222(4)∫eds,其中L为圆周x+y=a,直线y=x及x轴在第一象限内所围成L的扇形的整个边界;解L=L1+L2+L3,其中L1:x=x,y=0(0≤x≤a),πL2:x=acost,y=asint0(≤t≤),42L3:x=x,y=x0(≤x≤a),2x2+y2x2+y2x2+y2x2+y2因而∫Leds=,∫Leds+∫Leds+∫Leds123π2aa=ex12+02dx+4ea(−asint)2+
6、(acost)2dt+2e2x12+12dx∫0∫0∫0=ea2(+πa)−2.41ttt(5)∫Γ222ds,其中Γ为曲线x=ecost,y=esint,z=e上相应于t从0变到x+y+z2的这段弧;dx2dy2dz2解ds=()+()+()dtdtdtdt=(etcost−etsint)2+(etsint+etcost)2+e2tdt=,3etdt121t∫Γx2+y2+z2ds=∫0e2tcos2t+e2tsin2t+e2t3edt23−t3−t23−2=∫edt=[−e]0=1(−e).0222(6)x2yz
7、ds,其中Γ为折线ABCD,这里A、B、C、D依次为点(0,0,0)、∫Γ(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2);解Γ=AB+BC+CD,其中AB:x=0,y=0,z=t(0≤t≤1),BC:x=t,y=0,z=2(0≤t≤3),CD:x=1,y=t,z=2(0≤t≤3),故x2yzds=x2yzds+x2yzds+x2yzds∫Γ∫AB∫BC∫CD133=0dt+0dt+2t02+12+02dt=9.∫0∫0∫0(7)y2ds,其中L为摆线的一拱x=a(t−sint),y=a(1−cost)(0≤t≤2π)
8、;∫L2π解∫∫y2ds=a2(1−cost)2[a(t−sint′])2+[a(cost′])2dtL032π22563=2a∫1(−cost)1−costdt=a.015(8)(x2+y2)ds,其中L为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint−tcost)(0≤t≤2π).∫L解ds=(dx)2+(dy)2dt=(atcost
