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1、个人收集整理勿做商业用途习题7—11.设u=a-b+2c,v=-a+3b-c.试用a、b、c表示2u-3v.解2u-3v=2(a-b+2c)-3(-a+3b-c)=2a-2b+4c+3a-9b+3c=5a-11b+7c.2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试用向量证明这是平行四边形.证明;,而,,所以.这说明四边形ABCD的对边AB=CD且AB//CD,从而四边形ABCD是平行四边形.3.把DABC的BC边五等分,设分点依次为D1、D2、D3、D4,再把各分点与点A连接.试以、表示向量、、、.解,,,.4.已知两点M1(
2、0,1,2)和M2(1,-1,0).试用坐标表示式表示向量及.解,.5.求平行于向量a=(6,7,-6)的单位向量.解,平行于向量a=(6,7,-6)的单位向量为或.6.在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限?A(1,-2,3);B(2,3,-4);C(2,-3,-4);D(-2,-3,1).解A在第四卦限,B在第五卦限,C在第八卦限,D在第三卦限.7.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征?指出下列各点的位置:个人收集整理勿做商业用途A(3,4,0);B(0,4,3);C(3,0,0);D(0,-1,0).解在xOy
3、面上,的点的坐标为(x,y,0);在yOz面上,的点的坐标为(0,y,z);在zOx面上,的点的坐标为(x,0,z).在x轴上,的点的坐标为(x,0,0);在y轴上,的点的坐标为(0,y,0),在z轴上,的点的坐标为(0,0,z).A在xOy面上,B在yOz面上,C在x轴上,D在y轴上.8.求点(a,b,c)关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标.解(1)点(a,b,c)关于xOy面的对称点为(a,b,-c);点(a,b,c)关于yOz面的对称点为(-a,b,c);点(a,b,c)关于zOx面的对称点
4、为(a,-b,c).(2)点(a,b,c)关于x轴的对称点为(a,-b,-c);点(a,b,c)关于y轴的对称点为(-a,b,-c);点(a,b,c)关于z轴的对称点为(-a,-b,c).(3)点(a,b,c)关于坐标原点的对称点为(-a,-b,-c).9.自点P0(x0,y0,z0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线,写出各垂足的坐标.解在xOy面、yOz面和zOx面上,垂足的坐标分别为(x0,y0,0)、(0,y0,z0)和(x0,0,z0).在x轴、y轴和z轴上,垂足的坐标分别为(x0,0,0),(0,y0,0)和(0,0,
5、z0).10.过点P0(x0,y0,z0)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面,问在它们上面的点的坐标各有什么特点?解在所作的平行于z轴的直线上,点的坐标为(x0,y0,z);在所作的平行于xOy面的平面上,点的坐标为(x,y,z0).11.一边长为a的立方体放置在xOy面上,其底面的中心在坐标原点,底面的顶点在x轴和y轴上,求它各顶点的坐标.解因为底面的对角线的长为,所以立方体各顶点的坐标分别为,,,,,,,.12.求点M(4,-3,5)到各坐标轴的距离.解点M到x轴的距离就是点(4,-3,5)与点(4,0,0)之间
6、的距离,即.点M到y轴的距离就是点(4,-3,5)与点(0,-3,0)之间的距离,即.点M到z轴的距离就是点(4,-3,5)与点(0,0,5)之间的距离,即.个人收集整理勿做商业用途13.在yOz面上,求与三点A(3,1,2)、B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点.解设所求的点为P(0,y,z)与A、B、C等距离,则,,.由题意,有,即解之得y=1,z=-2,故所求点为(0,1,-2).14.试证明以三点A(4,1,9)、B(10,-1,6)、C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形.解因为,,,所以,.
7、因此DABC是等腰直角三角形.15.设已知两点和M2(3,0,2).计算向量的模、方向余弦和方向角.解;;,,;,,.16.设向量的方向余弦分别满足(1)cosa=0;(2)cosb=1;(3)cosa=cosb=0,个人收集整理勿做商业用途问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何?解(1)当cosa=0时,向量垂直于x轴,或者说是平行于yOz面.(2)当cosb=1时,向量的方向与y轴的正向一致,垂直于zOx面.(3)当cosa=cosb=0时,向量垂直于x轴和y轴,平行于z轴,垂直于xOy面.17.设向量r的模是4,它与轴u的
8、夹角是60°,求r在轴u上的投影.解.18.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4,-4,7.求这向量的起点A的坐标.解设点A的坐标为(x,y,z).由已知得,解得x=-2,y=3,z=0.点A的坐标为A(-2,3,0).19.设m=3i+5