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1、习题12-91.求下列各微分方程的通解:(1)2y¢¢+y¢-y=2ex;解微分方程的特征方程为2r2+r-1=0,其根为,r2=-1,故对应的齐次方程的通解为.因为f(x)=2ex,l=1不是特征方程的根,故原方程的特解设为y*=Aex,代入原方程得2Aex+Aex-Aex=2ex,解得A=1,从而y*=ex.因此,原方程的通解为.(2)y¢¢+a2y=ex;解微分方程的特征方程为r2+a2=0,其根为r=±ai,故对应的齐次方程的通解为Y=C1cosax+C2sinax.因为f(x)=ex,l=1不是
2、特征方程的根,故原方程的特解设为y*=Aex,代入原方程得Aex+a2Aex=ex,解得,从而.因此,原方程的通解为.(3)2y¢¢+5y¢=5x2-2x-1;解微分方程的特征方程为2r2+5r=0,其根为r1=0,,故对应的齐次方程的通解为.因为f(x)=5x2-2x-1,l=0是特征方程的单根,故原方程的特解设为y*=x(Ax2+Bx+C),代入原方程并整理得15Ax2+(12A+10B)x+(4B+5C)=5x2-2x-1,比较系数得,,,从而.因此,原方程的通解为.(4)y¢¢+3y¢+2y=3x
3、e-x;解微分方程的特征方程为r2+3r+2=0,其根为r1=-1,r2=-2,故对应的齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e-2x.因为f(x)=3xe-x,l=-1是特征方程的单根,故原方程的特解设为y*=x(Ax+B)e-x,代入原方程并整理得2Ax+(2A+B)=3x,比较系数得,B=-3,从而.因此,原方程的通解为.(5)y¢¢-2y¢+5y=exsin2x;解微分方程的特征方程为r2-2r+5=0,其根为r1,2=1±2i,故对应的齐次方程的通解为Y=ex(C1cos2x+C2sin2x).因
4、为f(x)=exsin2x,l+iw=1+2i是特征方程的根,故原方程的特解设为y*=xex(Acos2x+Bsin2x),代入原方程得ex[4Bcos2x-4Asin2x]=exsin2x,比较系数得,B=0,从而.因此,原方程的通解为.(6)y¢¢-6y¢+9y=(x+1)e3x;解微分方程的特征方程为r2-6r+9=0,其根为r1=r2=3,故对应的齐次方程的通解为Y=e3x(C1+C2x).因为f(x)=(x+1)e3x,l=3是特征方程的重根,故原方程的特解设为y*=x2e3x(Ax+B),代入
5、原方程得e3x(6Ax+2B)=e3x(x+1),比较系数得,,从而.因此,原方程的通解为.(7)y¢¢+5y¢+4y=3-2x;解微分方程的特征方程为r2+5r+4=0,其根为r1=-1,r2=-4,故对应的齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e-4x.因为f(x)=3-2x=(3-2x)e0x,l=0不是特征方程的根,故原方程的特解设为y*=Ax+B,代入原方程得4Ax+(5A+4B)=-2x+3,比较系数得,,从而.因此,原方程的通解为.(8)y¢¢+4y=xcosx;解微分方程的特征方程为r2+4
6、=0,其根为r=±2i,故对应的齐次方程的通解为Y=C1cos2x+C2sin2x.因为f(x)=xcosx=e0x(x×cosx+0×sinx),l+iw=i不是特征方程的根,故原方程的特解设为y*=(Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx,代入原方程得(3Ax+3B+2C)cosx+(3Cx-2A+3D)sinx=xcosx,比较系数得,B=0,C=0,,从而.因此,原方程的通解为.(9)y¢¢+y=ex+cosx;解微分方程的特征方程为r2+1=0,其根为r=±i,故对应的齐次方程的通解为Y=C1
7、cosx+C2sinx.因为f(x)=f1(x)+f2(x),其中f1(x)=ex,f2(x)=cosx,而方程y¢¢+y=ex具有Aex形式的特解;方程y¢¢+y=cosx具有x(Bcosx+Csinx)形式的特解,故原方程的特解设为y*=Aex+x(Bcosx+Csinx),代入原方程得2Aex+2Ccosx-2Bsinx=ex+cosx,比较系数得,B=0,,从而.因此,原方程的通解为.(10)y¢¢-y=sin2x.解微分方程的特征方程为r2-1=0,其根为r1=-1,r2=1,故对应的齐次方程的
8、通解为Y=C1e-x+C2ex.因为,而方程的特解为常数A;方程具有Bcos2x+Csin2x形式的特解,故原方程的特解设为y*=A+Bcos2x+Csin2x,代入原方程得,比较系数得,,C=0,从而.因此,原方程的通解为.2.求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:(1)y¢¢+y+sinx=0,y
9、x=p=1,y¢
10、x=p=1;解微分方程的特征方程为r2+1=0,其根为r=±i,故对应的齐次方程的通解为Y=C1cosx+
