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《高数第五版答案(同济)12-7.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、习题12-71.下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？(1)x,x2;解因为不恒为常数,所以x,x2是线性无关的.(2)x,2x;解因为,所以x,2x是线性相关的.(3)e2x,3e2x;解因为,所以e2x,3e2x是线性相关的.(4)e-x;ex;解因为不恒为常数,所以e-x;ex是线性无关的.(5)cos2x,sin2x;解因为不恒为常数,所以cos2x,sin2x是线性无关的.(6),;解因为不恒为常数,所以,是线性无关的.(7)sin2x,cosx×sinx;解因为,所以sin2x,cosx×s
2、inx是线性相关的.(8)excos2x,exsin2x;解因为不恒为常数,所以excos2x,exsin2x是线性无关的.(9)lnx,xlnx;解因为不恒为常数,所以lnx,xlnx是线性无关的.(10)eax,ebx(a¹b).解因为不恒为常数,所以eax,ebx是线性无关的.2.验证y1=coswx及y2=sinwx都是方程y¢¢+w2y=0的解,并写出该方程的通解.解因为y1¢¢+w2y1=-w2coswx+w2coswx=0,y2¢¢+w2y2=-w2sinwx+w2sinwx=0,并且不恒为常
3、数,所以y1=coswx与y2=sinwx是方程的线性无关解,从而方程的通解为y=C1coswx+C2sinwx.提示:y1¢=-wsinwx,y1¢¢=-w2coswx;y2¢=wcoswx,y1¢¢=-w2sinwx.3.验证及都是方程y¢¢-4xy¢+(4x2-2)y=0的解,并写出该方程的通解.解因为,,并且不恒为常数,所以与是方程的线性无关解,从而方程的通解为.提示:,;,.4.验证:(1)(C1、C2是任意常数)是方程y¢¢-3y¢+2y=e5x的通解;解令y1=ex,y2=e2x,.因为y1¢
4、¢-3y1¢+2y1¢=ex-3ex+2ex=0,y2¢¢-3y2¢+2y2¢=4e2x-3(2e2x+2e2x=0,且不恒为常数,所以y1与y2是齐次方程y¢¢-3y¢+2y=0的线性无关解,从而Y=C1ex+C2e2x是齐次方程的通解.又因为,所以y*是方程y¢¢-3y¢+2y=e5x的特解.因此是方程y¢¢-3y¢+2y=e5x的通解.(2)(C1、C2是任意常数)是方程y¢¢+9y=xcosx的通解;解令y1=cos3x,y2=sin3x,.因为y1¢¢+9y1=-9cos3x+9cos3x=0,y
5、2¢¢+9y2=-9sin3x+9sin3x=0,且不恒为常数,所以y1与y2是齐次方程y¢¢+9y=0的线性无关解,从而Y=C1ex+C2e2x是齐次方程的通解.又因为,所以y*是方程y¢¢+9y=xcosx的特解.因此是方程y¢¢+9y=xcosx的通解.(3)y=C1x2+C2x2lnx(C1、C2是任意常数)是方程x2y¢¢-3xy¢+4y=0的通解;解令y1=x2,y2=x2lnx.因为x2y1¢¢-3xy1¢+4y1=x2×2-3x×2x+4×x2=0,x2y2¢¢-3xy2¢+4y2=x2×(
6、2lnx+3)-3x×(2xlnx+x)+4×x2lnx=0,且不恒为常数,所以y1与y2是方程x2y¢¢-3xy¢+4y=0的线性无关解,从而y=C1x2+C2x2lnx是方程的通解.(4)(C1、C2是任意常数)是方程x2y¢¢-3xy¢-5y=x2lnx的通解;解令y1=x5,,.因为x2y1¢¢-3xy1¢-5y1=x2×20x3-3x×5x4-5×x5=0,,且不恒为常数,所以y1与y2是齐次方程x2y¢¢-3xy¢-5y=0的线性无关解,从而是齐次方程的通解.又因为,所以y*是方程x2y¢¢-3
7、xy¢-5y=x2lnx的特解.因此是方程x2y¢¢-3xy¢-5y=x2lnx的通解.(5)(C1、C2是任意常数)是方程xy¢¢+2y¢-xy=ex的通解;解令,,.因为,,且不恒为常数,所以y1与y2是齐次方程xy¢¢+2y¢-xy=0的线性无关解,从而是齐次方程的通解.又因为,所以y*是方程xy¢¢+2y¢-xy=ex的特解.因此是方程xy¢¢+2y¢-xy=ex的通解.(6)y=C1ex+C2e-x+C3cosx+C4sinx-x2(C1、C2、C3、C4是任意常数)是方程y(4)-y=x2的通解
8、.解令y1=ex,y2=e-x,y3=cosx,y4=sinx,y*=-x2.因为y1(4)-y1=ex-ex=0,y2(4)-y2=e-x-e-x=0,y3(4)-y3=cosx-cosx=0,y4(4)-y4=sinx-sinx=0,并且,所以y1=ex,y2=e-x,y3=cosx,y4=sinx是方程y(4)-y=0的线性无关解,从而Y=C1ex+C2e-x+C3cosx+C4sinx是方程的通解.又因为
