北京大学物理学院-量子力学chap6

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1、Æ!#$6.1"Schr¨odingers℄7/gDoB=BeB0
x<
.DSchr¨odingerU4

2、D
f;a#i`ÆxU4
9H
ta#Bx<

7/!*U4d2rqm=v×B+qE.(1)dt2ca#huAk~D[>LHCU4(1)z9LagrangeU4!d∂L∂L−=0(2)dt∂r˙∂r5
^8a#}Gd(1∂AB=∇×A,E=−−∇ϕ.(3)c∂tyAdϕa#
mv2qL=+A·v−qϕ.(4)2

3、cFCv5ha#
∂Lq=mv+A.(5)∂vcRwLr5℄5∂Lq=∇L=∇(A·v)−q∇ϕ.(6)∂rcG^
∇(A·v)=(A·∇)v+(v·∇)A+A×(∇×v)+v×(∇×A)(7)n(A·∇)v=0,∇×v=0,(8)1a#CA∇(A·v)=(v·∇)A+v×B.(9)=LangrangeU4ha#
dqd2rqdAqq(mv+A)=m+=(v·∇)A+v×B−q∇ϕ.(10)dtcdt2cdtccxU%UZADATEuD'ip^dA∂A∂Adx∂Ady∂Adz∂A=+++

4、=+(v·∇)A.(11)dt∂t∂xdt∂ydt∂zdt∂t=U4(10)D&ha#
d2rq∂Aqqqm++(v·∇)A=v×B−q∇ϕ+(v·∇)A,(12)dt2c∂tccck!d2rq1∂Aqm=v×B+q−−∇ϕ=v×B+qE.(13)dt2cc∂tc8a#C5{LoUu5D
e%a#u5
Ve
℄5
∂L∂LqP≡==mv+A.(14)∂v∂r˙cw=b$D):
ha#CA2!qmvqH=P·v−L=mv+A·v−+A·v−qϕc2c22mv121q=+qϕ=(mv)

5、+qϕ=P−A+qϕ.(15)22m2mchx.i
a#u5hihihix,ˆPˆx=y,ˆPˆy=z,ˆPˆz=ih.¯(16)ÆEtu5h¯Pˆ=∇.(17)i2

6、8a#hCASchr¨odingerU4!2∂1h¯qih¯Ψ(r,t)=∇−A(r,t)Ψ(r,t)+qϕ(r,t)Ψ(r,t).(18)∂t2micÆxU4kdDxnY)?
$d`T-'rE`X3x245248w
§6.2Zeemana#DFx1_-/7/eDWhm
8Ea#
1A(r,t)=B

7、×r,qϕ(r)=V(r).(19)2=WDSchr¨odingerU4ha#
221eB1eBEΨ(r)=Pˆx−yΨ(r)+Pˆy+xΨ(r)2m2c2m2c+1Pˆ2Ψ(r)+V(r)Ψ(r).(20)z2mÆa#Aq=−eÆxF
w,Ulha#
11eB1e2B2EΨ(r)=Pˆ2Ψ(r)+V(r)Ψ(r)+LˆΨ(r)+x2+y2Ψ(r).(21)2m2mcz2m4c222-'5,R(8x+ylh)ΨnrLM(r,θ,ϕ)=RnrL(r)YLM(θ,ϕ).(22)=ÆxU4D

8、$R
=ha#CA!eBh¯EΨnrLM(r,θ,ϕ)=EnrL+MΨnrLM(r,θ,ϕ).(23)2mc

9、8v+D(pEnrLhW32L+1Y(−L≤M≤L)
WhDeB¯heBk(pu^hω¯L=2mc
RωL=2mc2^Larmor+
g:ωL∝B
(pWk~D_-jvSDW?x253wCD[7.2U
˚A)&jj(λ∼58937/W3BYω,ω+ωLdω−ωL
+0℄//W;
3§6.3Landauha#℄x
o℄7/D

82ea#

10、
1ϕ(r)=0,A(r)=B×r.(24)2=Sch¨odingerU4ha#
"22#EΨ(r)=1Pˆ−eBy+1Pˆ+eBx+1Pˆ2Ψ(r)xyz2m2c2m2c2m1e2B2eB=Pˆ2Ψ(r)+x2+y2Ψ(r)+LˆΨ(r).(25)2m8mc22mcz
7DÆxU4z~95

11、
^8a#}((ρ,ϕ,z)
8(ea#
!h¯∂1∂∂1∂2∂2Lˆ=,Pˆ2=−h¯2ρ++.(26)zi∂ϕρ∂ρ∂ρρ2∂ϕ2∂z2=ha#
!h¯21∂∂1∂2∂2eBh¯∂e2B22EΨ(r)

12、=−ρ++Ψ(r)+Ψ(r)+ρΨ(r).(27)2mρ∂ρ∂ρρ2∂ϕ2∂z22mci∂ϕ8mc2inϕikzΨ(r)=R(ρ)ee,n=0,±1,±2,······,(28)a#
!h¯21∂∂n2eBh¯e2B222ER(ρ)=−ρ−−kR(ρ)+nR(ρ)+ρR(ρ