a第三章 参数曲面 保长及共形对应

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1、微分几何DifferentialGeometryChapter3参数曲面保长对应和保角对应LOGO曲面到曲面的连续可微映射设有两个曲面SS12，.因为曲面上的点p与它的参数(曲纹坐标)是一一对应的，所以从曲面S1到曲面S2的映射:SS12可以通过它们的参数表示出来.即有映射:DD使得rr，11221或rr1.2133ESSE12rr12DD12曲面到曲面的连续可微映射将映射:SS12通过它们的参数用两个函数表示出来，则有ufuv(,),211vguv(,).211如果

2、这两个函数都是连续可微的，则称映射是连续可微的.可微性与这两个曲面的参数取法无关.设两个曲面SS12,的参数方程分别为r1ruv1(,),(,)uvD1和r2ruv2(,)，(,)uvD2映射:SS12是连续可微的，它的参数表示为rr121其中:DD:(,)uv(,)uv(,)uv((,),(,))uuvvuv12切映射对每一点pS1，可以通过下面的方法定义一个线性映射::TSpp1T()S2Xar1uvbr1X上面定义的映射称为由连续可微映

3、射诱导的切映射.TST()pp133ESSE12rr12DD12切映射也可以用另一种方法来定义：将S1上的曲线C映为S2上的曲线Cut:()uutvt((),())，vt()vutvt((),())定义X为C在t0处的切向量，即()Xdd

4、rutvt((),())

5、ruutvt(((),()),((),())vutvtdttt02dt02ruu(0)uv(0)rvu(0)vv(0)22uvuvuvruu

6、(0)uv(0)rvu(0)vv(0)22uvuvuv定理5.1设映射:SS12是3次以上连续可微的.如果在p点切映射:TSpp1T()S2是线性同构，则分别有p点的邻域US11和()p点的邻域US22，()UU12，以及UU12,上的参数系(,)uv11和(,)uv22，使得映射

7、U1的参数表示为id::(,)uv(,)(,)uvuv1211221111其中r(U),r(U).这种参数系称为映射的适用111222参数系.证明设SS

8、12,的参数方程分别为r11ruv(,)和r22ruv(,)，的参数表示为:DD:(,)uv(,)(,)((,),(,))uvuvuuvvuv12(,)uvp由条件，0.设点的曲纹坐标为(,)uv00，()p点的(,)uvp曲纹坐标为(,)uv00.(,)uv由于(,)uv是连续的，存在(,)uv00在D1中的邻域11D，(,)uv

9、使得在1上0，且在1上有连续可微的反函数(,)uv11，::(,)uv(,)((,),(,))uvuuvvuv21其中2()1D2是

10、(,)uv00在2中的邻域.在1上对曲面U1r1()1S1作参数变换u11uv,v.在2上对曲面U2r2()2S2作参数变换u22uuvv(,),vuv(,).则在新的参数下，的参数表示为1::(,)uv(,)((,),(,)uvuuvvuv(,)(,)(,)uvuvuv12112211*映射设:SS12是连续可微映射，(,)uv和(,)uv分别是SS,12的曲纹坐标.的参数表示为uuuv(,),vvuv(,).因为uvuu(dudv,)(dudv

11、,):(dudvJ,)uvvv对于曲面S2上的任意一个二次微分式22ABduAuvdu(,)2(,)BuvdudvCuvdv(,)(dudv,)BCdv(5.11)我们可定义曲面S1上的一个二次微分式ABdu22TAuvdu(,)2(,)BuvdudvCuvdv(,)(dudvJ,)JBCdv(5.12)其中uvuuJuvvvABABuvABuuTuuuvJJ

12、BCBCuvBCvvvvuv(5.15)其中ABC,,作为复合函数，是uv,的函数，即2Auv(,)Auuvvuv(,),(,)u(,)uv2Buuvvuv(,),(