正则参数曲面课件.pptx

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1、第三章曲面的第一基本形式§3.1正则参数曲面一、参数曲面.从平面的一个区域(region，即连通开集)到中的一个连续映射的象集称为中的一个参数曲面.在中取定正交标架，建立笛卡尔右手直角坐标系，则参数曲面可以通过参数（parameter）表示成参数方程.（1.1）或写成向量参数方程.，（1.2）一、参数曲面为了使用微积分工具，要求向量函数都是3次以上连续可微的.图3.1-曲线：让固定，变化，向量的终点描出的轨迹.-曲线，参数曲线网一、参数曲面直观上，参数曲面就是将平面中的区域经过伸缩、扭曲等连续变形后放到欧氏空间中的结果.

2、曲纹坐标，即一般地，由（1.1）给出的映射并不能保证曲面上的点与该点的参数之间是一一对应的.为了使得曲纹坐标能真正起到坐标的作用，需要对参数曲面加上正则性条件二、正则参数曲面，（1.3）线性无关，即，则称或是的正则点（regularpoint）.如果上每一点都是正则点则称是正则参数曲面.以下总假定是正则曲面.在正则曲面上每一点，由于（1.4）定义设为中的参数曲面.如果在点，两条参数曲线的切向量二、正则参数曲面通过重新选取正交标架，不妨设根据反函数定理，存在的邻域，使得有连续可微的反函数，即有此时有的邻域和同胚映射.从而有

3、连续映射.于是在的邻域内可用参数方程表示为（*）或表示为一个二元函数的图像，其中（1.5）上式称为曲面片的Monge形式，或称为的显式方程.二、正则参数曲面从（*）式可见是一一对应，从而也是一一对应.这说明正则性条件至少保证了局部是一一对应.为了确定起见，以下约定正则曲面与其定义域之间总是一一对应的，从而参数可以作为曲面上点的曲纹坐标.反之，由显式方程表示的曲面总是正则的：如果则，从而二、正则参数曲面三、可容许的参数变换曲面的定向（orientation）：对于曲面，规定所指的一侧为的正侧.由于参数曲面的参数方程中，参数

4、的选择不是唯一的，在进行参数变换（transformationofparameter）时，要求参数变换（1.8）满足：（1）是的3次以上连续可微函数；（2）不为零这样的参数变换称为可允许的（compatible）参数变换.当时，称为保持定向（preservetheorientation）的参数变换.根据复合函数的求导法则，在新的参数下，，因此（1.10）上式说明在可允许的参数变换下，正则性保持不变；在保持定向的参数变换下，曲面片的正侧保持不变.三、可容许的参数变换四、正则曲面，正则参数曲面在具体应用总是十分方便，十分广泛

5、的.但是有的曲面不能够用一张正则参数曲面来表示，例如球面.将与等同，赋予普通的度量拓扑，即以的标准度量确定的拓扑.定义1.1设是的一个子集，具有相对拓扑.如果对任意一点存在在中的一个邻域(，其中是在中的邻域），和中的一个区域，以及同胚使得是中一个正则参数曲面，则称是中的一张正则曲面，简称曲面.上述的邻域和同胚的逆映射合在一起，将称为该曲面的一个局部参数化，或坐标卡.四、正则曲面注的拓扑是作为的子集从诱导的相对拓扑，即作为的拓扑子空间的拓扑.如果两个局部参数化，满足，那么正则参数曲面就有两个参数表示和.由此自然产生了参数变

6、换利用正则参数曲面的3次以上连续可微性和正则性，则可以证明上述参数变换是可允许的.四、正则曲面，直观上看，正则曲面是由一些正则参数曲面“粘合”而成的.只有那些与参数的选择无关的量才是曲面本身的几何量.如果一个正则曲面有一族保持定向的局部参数化（为指标集），使得构成的开覆盖，则称该曲面是可定向的（orientable）..例1（平面）例2（柱面）五、正则曲面的例子（1.15）其中.当时，圆柱面上少了一条直线特别地，圆柱面：五、正则曲面的例子如果取，上面的直线在参数曲面上，但是又少了一条直线显然是任意阶连续可微的.又，，所以

7、圆柱面是正则曲面.圆柱面也可以用一个坐标卡表示：，所以圆柱面是可定向的.图3.2五、正则曲面的例子图3.3例3球面，参数方程为，（1.16）五、正则曲面的例子其中.由于，所以球面是正则曲面.问题：球面至少需要几个坐标卡才能将它覆盖？(参见习题2)五、正则曲面的例子图3.4例4旋转面设是平面上一条曲线，其中将绕轴旋转得到的旋转面参数方程为，（1.18）五、正则曲面的例子旋转面上的-曲线称为纬线圆，-曲线称为经线圆.因为，，所以当是正则曲线，并且时，是正则曲面.五、正则曲面的例子例5正螺面设两条直线和垂直相交.将直线一方面绕

8、作匀速转动，同时沿作匀速滑动，的运动轨迹叫做正螺面.取初始位置的直线为x轴，为z轴，建立右手直角坐标系.则正螺面的参数方程为，（1.19）由，，可知正螺面是正则曲面.五、正则曲面的例子例6直纹面简单来说，直纹面就是由单参数直线族构成的曲面.五、正则曲面的例子设（）是一条空间正则曲线.在上对应于参数的每一点有一条直线，