关于常曲率空间中有限点集的几何不等式

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1、第17卷第1期数学研究与评论Vol.17No.11997年2月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONFeb.1997X关于常曲率空间中有限点集的几何不等式杨　世　国(安徽教育学院数学系,合肥230061)摘　要　本文用代数方法建立了n维球面型空间Sn(K)和n维双曲空间Hn(K)中有n限点集的点与点两两之间之距离的一类几何不等式,本文还建立了n维欧氏空间E中共球有限点集的一类几何不等式.作为本文结果的应用,简洁地得出[3]中的一个重要结果,并得出nE中有限点集的两个几何不等式.关键词　

2、欧氏空间,球面空间,双曲空间,距离,体积.分类号　AMS(1991)51K05öCCLO184§1　引　言[1]距离几何是本世纪二十年代末所开创的几何学的一个分支,L.M.Blumenthal的专著是距离几何之经典.在距离几何中,研究各种空间中的点与点两两之间距离的几何不等式是十分重要和有趣的,然而迄今所研究的这类几何不等式多半是关于n维欧氏空间中的有限点集.本文用代数方法建立了n维球面型空间和n维双曲空间中有限点集的点与点两两之间距离的一类几何不等式,并建立了n维欧氏空间中共球有限点集的一类几何不等式.作为本文结果的n两个应用,

3、十分简洁地得到[3]中的一个结果和E中有限点集的两个新的几何不等式.n文中约定E表示n维欧氏空间,Sn(K)和Hn(K)分别表示曲率为K的n维球面型空间和n维双曲空间,Sm,R表示半径为R的m维球面,并约定n维常曲率空间中的有限点集R={A1,A2,⋯,AN}(N>n)不包含在该空间的n-1维超平面内.本文获得n维非欧空间中有限点集的下述几个几何不等式.定理1设R={A1,A2,⋯,AN}为n维球面型空间Sn(K)(K>0)中有限点集(N>n),点Ai与Aj间的球面距离为Qij(i,j=1,2,⋯,N),则对任何一组实数mi>0(

4、i=1,2,⋯,N),有N222n22∑mimjsinKQij≤2(n+1)(∑mi),(1.1)1≤i

5、served.(1.1)中等号成立当且仅当(mimjcosKQij)的所有非零特征值相等;(1.2)中等号成立当且仅当(cosKQij)的所有非零特征值相等.特别,若在定理1中令m1=m2=⋯=mN,得推论1在定理1所设条件下,有22nN∑sinKQij≤,(1.3)1≤i

6、j)的所有非零特征值相等.定理2设R={A1,A2,⋯,AN}为n维双曲空间Hn(K)(K<0)中的有限点集(N>n),点Ai与Aj在Hn(K)中的距离为rij(i,j=1,2,⋯,N),mi≠0(i=1,2,⋯,N)为任一组可正可负的实数.则有222∑mimjmtchûKûrijõchûKûrjtõchûKûrti1≤i

7、n),mi>0(i=1,2,⋯,N),R中任意k+1个点Ai,Ai,0

8、1⋯,Ai所生成的k维单形之k维体积为Vii⋯i,它的外接球面半径为Rii⋯i,记k01k01kN2Nk=∑∑⋯∑mi0mi1⋯mikVi0i1⋯ik,N0=∑mi,1≤i