上海电力学院量子力学总复习

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1、《量子力学》总复习2012.12.13第一章波函数和薛定谔方程•经典物理学不能解释黑体辐射、光电效应、康普顿散射，发现光波具有粒子性。同时发现实物粒子具有波动性。微观粒子具有波粒二象性。自由粒子满足德布罗意关系：Ehpk•状态用波函数描述。Born对波函数的统计2解释：对归一化波函数(r,t)，(r,t)dr给出在t时刻，粒子出现在rrdr的概率。•把波函数所描述的波称为概率波。•波函数的自然条件：单值、有限、连续。•平面波可施行箱归一化或函数规格化•态叠加原理设1和2是两个任意的态矢量，C1和C是两个任意的复常数，则C11C

2、22仍2然是一个描述某种状态的态矢量。Cii，i22在态中，出现态i的概率是Ci/Ci。i•坐标表象和动量表象。波函数(x)和(p)之间满足Fourier变换。不同表象上算符形式不同。22i(r,t)[U(r)](r,t)t2•波函数随时间的变化由薛定谔方程决定：22iU(r,t)t2mU(r)iEt/当势场不显含t时，解是定态解(r,t)(r)e，(r)满足定态薛定谔方程22HU(r)E2m•量子力学的五个基本假定波函数假定力学量算符假定平均值假定薛定谔方程全同

3、性原理第二章一维势场中的粒子•给定边界条件后，可以求一维薛定谔方程的解。当势场连续时，或有非奇性的有限个间断点时，波函数和波函数一阶微商连续。势场有一阶奇点时，波函数在奇点处连续，波函数一阶微商不连续。•求解薛定谔方程的一般步骤：方程无量纲化；写出各个区间相应的薛定谔方程；利用连续条件/边界条件求出能量本征值和本征函数；归一化。最后考察所求解的物理意义。•宽度为a的一维无限深对称方势阱222En,n1,2,3,n22ma2nxcosa,n1,3,5,,正宇称a(x)n2nxsin,n2,4,6,，负宇称aa粒子

4、在势阱中只有一个束缚态，能量为2mE221xL本征波函数的宇称为正(x)eL•方势垒的反射和透射，能量低于势垒的情况（其他情况可类推）：2224kTS222222ksha4k111sh2a4EE1VV0022222kshaR222222ksha4k•谐振子能量本征值和归一化的本征波函数为1E(n),n0,1,2,n222(x)Aex2H(x)nnn第3章力学量用算符表达•若有(,Aˆ)(Aˆ,)，Aˆ为Hermite算符。力学量用线

5、性Hermite算符表达。•对易关系：[x,pˆ]i,x,y,z,[Lˆ,Lˆ]iLˆ，,x,y,z[Lˆ,x]ix,,x.y,z[Lˆ,p]ip,,x.y,z•Hermite算符的本征波函数构成正交、归一、完备、封闭的本征函数系。•在任意态上对力学量Fˆ进行测量，所有可能出现的测量值都是该力学量的本征值。某一本征值an出现的概率等于态向本征态n投影的模方W(a)C2,2nnn•不确定关系：在任意态上任意两个力学量Aˆ和Bˆ的不确定度的乘积存在下限AB1[A

6、ˆ,Bˆ]2•互相对易的两个力学量一定具有共同的完备的本征函数系；具有共同的完备的本征函数系的两个力学量一定对易。•集合{Lˆ2,Lˆ}是描述转动的力学量完全集，用量z子数{l,m}可以完全确定转动态。其中，l称为角量子数，表示Lˆ2的本征值；m称为磁量子数，表示Lˆz的本征值。•{Lˆ2,Lˆ}的共同本征值问题的解为zLˆY(,)mY(,)l0,1,2,zlmlmLˆ2Y(,)l(l1)2Y(,)ml,l1,,l1,llmlm•本征函数Ylm(,)称为球谐函数2l1(lm)!Y(,)(1)mPm(cos)eim

7、lm4(lm)!l•量子数l0,1的球谐函数为133Y(,)Y(,)cosY(,)sinei001011448第4章表象理论教材第7章P127～142，第9章§9.1P163～166•Fˆ表象是以Fˆ的本征函数系{n}为基底构成的表象。在这个表象中，态在Fˆ表象上的表示为一个列矩阵，矩阵元Cnn代表态在基底n上的投影，或称为展开系数。•算符Lˆ在Fˆ表象上的表示为一个矩阵，矩阵元为LmLˆn。在自身表象上力学量算符的表mn示是一个对角矩阵，而对角元素就是这个力学量