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1、《导数及其应用》单元测试题20130310用姓名:成绩:一、选择题1.函数的一个单调递增区间是————————————————()(A)(B)(C)(D)2.已知对任意实数,有,且时,,则时———————————————————————————————————()矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。A.B.C.D.3.若函数在内有极小值,则————————————()(A)(B)(C)(D)4.若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为—————()A.B.C.D.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。5.设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是——————————
2、———————————————————————()残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。6.已知二次函数的导数为,,对于任意实数都有,则的最小值为———————————————————————————————()酽锕极額閉镇桧猪訣锥。A.B.C.D.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。7.设在内单调递增,,则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.函数的图像如图所示,下列数值排序正确的是————————————()(A)y(B)(C)(D)O1234x二.填空题9.函数的单调递增区间是____.10.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为,
3、则__.11.点P在曲线上移动,设在点P处的切线的倾斜角为为,则的取值范围是12.已知函数(1)若函数在总是单调函数,则的取值范围是.(2)若函数在上总是单调函数,则的取值范围.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。(3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数的取值范围是.三.解答题13.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?厦礴恳蹒骈時盡继價骚。14.设函数在及时取得极值.(1)求a、b的值;(2)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围.15.设函数分别在处取得极小值
4、、极大值.平面上点的坐标分别为、,该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点,求茕桢广鳓鯡选块网羈泪。(1)求点的坐标;(2)求动点的轨迹方程.16已知函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)若关于的方程有三个不同的实根,求实数的取值范围.17.已知(1)当时,求函数的单调区间.(2)当时,讨论函数的单调增区间.(3)是否存在负实数,使,函数有最小值-3?四、选做题18.已知函数,,其中.(1)若是函数的极值点,求实数的值;(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有≥成立,求实数的取值范围.《导数及其应用》单元测试题解答一、选择题1.,选(A)2.(B)数形结合
5、3.A由,依题意,首先要求b>0,所以由单调性分析,有极小值,由得.4.解:与直线垂直的直线为,即在某一点的导数为4,而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为,故选A鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。5.(D)6.(C)7.(B)8.B设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A处的切线为AT点B处的切线为BQ,TyBA如图所示,切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角小于Q切线AT的倾斜角O1234x所以选B9.10.3211.12.(1)三、解答题13.解:设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为.故长方体的体积为从而令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,
6、因此x=1.当0<x<1时,V′(x)>0;当1<x<时,V′(x)<0,故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值.从而最大体积V=V′(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为2m,高为1.5m.答:当长方体的长为2m时,宽为1m,高为1.5m时,体积最大,最大体积为3m3.14.解:(1),因为函数在及取得极值,则有,.即解得,.(2)由(Ⅰ)可知,,.当时,;当时,;当时,.所以,当时,取得极大值,又,.则当时,的最大值为.因为对于任意的,有恒成立,所以 ,解得 或,因此的取值范围为.15.解:(1)令解得当时,,当
7、时,,当时,所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,所以,点A、B的坐标为.(2)设,,,所以,又PQ的中点在上,所以消去得.另法:点P的轨迹方程为其轨迹为以(0,2)为圆心,半径为3的圆;设点(0,2)关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心,半径为3的圆,由,得a=8,b=-2籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。16.解(1)………………………2分∴曲线在处的切线方程为,即;……4分(2)记令或1.…………………………………………………………6分则的变化情况如下表极大极小当有极大值有极小值.………………………10分由的简图知,当
8、且仅当即时,函数有三个不同零点,过点可作三条不同切线