福建师范大学2006年数学分析考研试题答案

《福建师范大学2006年数学分析考研试题答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2006年福建师范大学研究生入学考试《《《数学分析《数学分析数学分析》数学分析》》》试题和答案试题和答案一一一、一、、、选择题选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。要求把答案填在答题纸上）xx2x+231.把x→0时的无穷小量α=∫0costdt,β=∫0tantdt,γ=∫0sintdt排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A）αβγ,,（B）αγβ,,（C）βαγ,,（D）βγα,,2.设函数fx()连续，且f′(0)>0，则存在δ>0，使得（A

2、）fx()在(0,)δ内单调增加（B）fx()在(−δ,0)内单调减少（C）对任意的x∈(0,)δ，有fx()>f(0)（D）对任意的x∈−(δ,0)，有fx()>f(0)3.设{},{},{}abc均为实数列，且lima=0,limb=1,limc=∞，则必nnnnnnn→∞n→∞n→∞有（A）a

3、xy(,)在y=y处的导数大于零00(C)fxy(,)在y=y处的导数小于零001(D)fxy(,)在y=y处的导数不存在00答案：1.(B).2.(C).3.(D).4.(A).二二二、二、、、填空题填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分.要求把答案填在答题纸上）12ln(1+x)1.lim(cos)x=x→02.曲面22z=x+y与平面2x+4y−=z0平行的切平面的方程是∞∞∞3.若级数∑an绝对收敛且级数∑bn条件收敛，则级数∑(ak−

4、bk

5、)的敛n=1n=1k=100散性是x−x4.已知fe′()=xe，且f(1)=

6、0，则fx()=5.设L为正向圆周22x+y=2在第一象限中的部分，则曲线积分∫xdy−2ydx的值为L∞n(x−3)6.幂级数∑的收敛域为（要考虑端点情况）n=1na,0≤x≤17.设a>0,()fx=gx()=，D表示全平面，则0,其它I=∫∫fxgy()(−xdxdy)=D3x=t+3t+18.设函数yx()由参数方程确定，则曲线y=yx()向上凸的x3y=t−3t+1取值范围为1123π答案：1..2.2x+4y−=z5.3.发散.4.(ln)x.5..e2226.[2,4).7.a.8.(−∞,1)或(−∞,

7、1]2222222∂u∂u∂u三三三、（三、（15分分分）分）））设u=frr(),=x+y+z，若u满足方程++=0，222∂x∂y∂z试求出函数u.∂ux∂uy∂uz解：因=fr′()，=fr′()，=fr′()，……….3分∂xr∂yr∂zr所以222222∂uxr−x/rxy+z=fr′′()+fr′()=fr′′()+fr′().……….5分22223∂xrrrr同理可得22222222∂uyx+z∂uzx+y=fr′′()+fr′(),=fr′′()+fr′().………7分223223∂yrr∂zrr222∂u∂u∂u22

8、由条件得++=fr′′()+fr′()=0,或rfr′′()2+rfr′()=0.222∂x∂y∂zr2于是有[rfr′()]′=0,………..10分CC推得fr′()=,解出fr()=−+C,其中CC,为任意常数.………15分211rr四四四、（四、（15分分分）分）））设函数fx()在(−∞∞,)上连续且恒大于零，22222∫∫∫fx(+y+z)dV∫∫fx(+y)dσΩ()tDt()Ft()=,()Gt=，其中22t2∫∫fx(+y)dσ∫fx()dx−tDt()2222222Ω()t={(,,)xyzx+y+z≤t},()Dt

9、={(,)xyx+y≤t}.（1）讨论Ft()在区间(0,+∞)内的单调性.2（2）证明当t>0时，Ft()>Gt().π2ππtt2222∫0dθ∫0dϕ∫0fr()rsinϕdr2∫0fr()rdr解（1）：因为Ft()==，……4分2πtt22∫0dθ∫0fr()rdr∫0fr()rdr3t22tft()∫fr()rtrdr(−)′=0Ft()2，…………6分2t∫fr(2)rdr0所以在(0,+∞)上Ft′()>0，故Ft()在(0,+∞)内严格单调增加.……..7分t2π∫fr()rdr2证明（2）：因为0Gt(

10、)=，要证明t>0时Ft()>Gt()，tfr(2)drπ∫02只需证明t>0时Ft()−Gt()>0，即只需证明t>0时π2tttfr(2)rdr2fr(2)dr−fr(2)rdr>0.∫0∫0∫02ttt