局部凸空间上锥映象拓扑度的计算

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1、第16卷第3期数学研究与评论Vol.16No.31996年8月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONAug.1996X局部凸空间上锥映象拓扑度的计算梁　方　豪(山东大学数学系,济南250100)摘　要　本文给出了局部凸空间上锥映象拓扑度计算的一个结果,并举例说明了它的应用.关键词　局部凸空间,锥映象,拓扑度.分类号　AMS(1991)47H10öCCLO177.2本文恒设X是Hausdorff局部凸实线性拓扑空间(简称局部凸空间).在文献[1]中,设K{{是X中闭凸集,D

2、是X中开集,T:D→K是连续映象且T(D∩K)的闭包是紧集,又设H

3、(I-T)(5D∩K)(I为恒等映象),在此情况下[1]定义了拓扑度degK(I-T,D,H),并对其证明了{正规性、可加性、紧同伦不变性以及degK非零时算子方程有解性等性质.显然把[1]中的“T:D{→K连续”改为“T:D∩K→K连续”不会给degK的建立及性质带来任何影响.就拓扑度的计算而言,[1]只给出了拓扑度为1及奇数的结果.{以下恒设P是X中的锥.本文对于锥映象T:D∩P→P给出了拓扑度为0的某些条件,并且进而根据拓扑度的可加性导出了锥映

4、象的不动点定理.本文的结果是文献[2]的推广,但[2]的方法不能得出本文的结果.{{{定理1设D是X中开集,D∩P有界.又设T:D∩P→P是全连续映象(即T:D∩P→P{连续且T(D∩P)的闭包是紧集).若下面的条件(d0)成立:{存在全连续映象S:D∩P→P,使H

5、S(5D∩P),且使(d0)(1)x-Tx≠tSx,Px∈5D∩P,t≥0,则degP(I-T,D,H)=0.{证明　记E=D∩P,5PE=5D∩P.设N(H)是H的平衡凸邻域的全体.第一步　由H

6、S(5PE)知存在U∈N(H)使S(5P(E)

7、2)CU表示U对X的余集.由T(E)紧知其有界,再由E有界知(I-T)(E)有界,故存在t0>0使1(I-T)(E)

8、又由S(5PE)的闭包紧知网{Sxn}有子网收敛于某点z,不妨记此子ii1网为{Sxm}.由[0,t0]是R中紧集知网{tm}有子网tm→t且t∈[0,t0],于是Txm+tmSxm→yjjjj+tz.再由wm→w可知xm→w+y+tz=x.由5PE闭知x∈5PE,由T与S在5PE上连续知jjwm→x-Tx-tSx,所以w=x-Tx-tSx∈F.F闭得证.由(1)知H

9、F,故存在V∈N(H)使jF

10、S(5PE)+pt0时,由(6)知(tS+tR)x∈tC(U)=211C(2tU)

11、.(7)1　　设S>0.由T、S、R都是E→P的全连续映象并且[0,S]是R中紧集,利用网收敛容易证明H:E×[0,S]→P是全连续映象.注意到(7),由文献[1]定理4(degK的紧同伦不变性)便得degP(I-T,D,H)=degP(I-T-SS-SR,D,H).(8)第二步　显然(S+R)(E)=S(E)+p

12、P+p,所以存在W∈N(H)使(S+R)(E)0使(I-T)(E)

13、W),所以对Px∈E有(I-T-t1S-t1R)x≠H,于是由[1]定理1(degK非零时算子方程有解性)得degP(I-T-t1S-t1R,D,H)=0.再由第一步的(8)式(取S=t1)即知degP(I-T,D,H)=0.注　定理1中的条件(d0)有如下常用的两个特例:′(d0)　存在p∈P,p≠H,使当x∈5D∩P且t≥0时有x-Tx≠t