a第7讲-第8讲第3章 泊松过程

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1、江西理工大学理学院第三章泊松过程1江西理工大学理学院§3.1泊松过程的的定义和例子1.问题的提出下列事件随时间的推移迟早会重复出现.(1)自电子管阴极发射的电子到达阳极;(2)意外事故或意外差错的发生;(3)要求服务的顾客到达服务站.2江西理工大学理学院2.问题的分析与求解将电子、顾客等看作时间轴上的质点,电子到达阳极、顾客到达服务站等事件的发生相当于质点出现.因此研究的对象可以认为是随时间推移,陆续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机的质点流.　　用N(t),t≥0表示在时间间隔(0,t]内,时间轴上出现的质点数.{N(t),t≥0}是一个状态

2、取非负整数、时间连续的随机过程,称为　　　　　计数过程.3江西理工大学理学院计数过程的一个典型样本函数4江西理工大学理学院定义3.1称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程；若N(t)表示到时刻t为止已发生的"事件A的总数，且N(t)满足下列条件：（1）N(t)≥0（2）N(t)取正整数（3）若s

3、稳增量计数过程在(t,t+s]内(s>0)，事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间间隔s有关，而与初始时刻t无关6江西理工大学理学院定义3.2称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过程，若它满足下列条件：（1）X(0)=0（2）X(t)是平稳独立增量过程；（3）在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数λt>0的泊松分布，Poisson分布教材有误kλ即对任意s,t≥0，有P(X=k)=e−λk!n−t(λt)P{}X(t+s)−X(s)=n=eλ,n=0,1,Ln!E[X(t)]=λt,λ=E[X(t)]/t,7江西理

4、工大学理学院☆注：(1)泊松过程是平稳增量过程(2)由E[X(t)]=λt,知λ=E[X(t)]/t故λ表示过程的强度例例在(0,t]内接到服务台咨询电话的次数X(t)，在(0,t]内到某火车站售票处购买车票的旅客数X(t)等8江西理工大学理学院定义3.3称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过程，若它满足下列条件：（1）X(0)=0定义3.2↔定义3.3（2）X(t)是独立、平稳增量过程；（3）X(t)满足下列两式：P{X(t+h)−X(t)=1}=λh+o(h)P{X(t+h)−X(t)≥2}=o(h)由定义中条件(3)，在充分小

5、的时间间隔内，最多有一个事件发生，有两个或两个以上事件同时发生可能性极小。9江西理工大学理学院定义3.2称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过程，若它满足下列条件：（1）X(0)=0（2）X(t)是平稳独立增量过程；（3）在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数λt>0的泊松分布，定义3.3（1）X(0)=0（2）X(t)是独立、平稳增量过程；（3）X(t)满足下列两式：P{X(t+h)−X(t)=1}=λh+o(h)P{X(t+h)−X(t)≥2}=o(h)10江西理工大学理学院定义1⇒定义2由（2）知平稳性，又当h充分小

6、的，有Ptht{X(+−)X()==1}Ph{X()X(0)−=1}∞n−λhλλhh()−==ehλ∑1!n=0n!=λhh[1−+λo()]h=λhoh+()Ptht{X(+−≥=)X()2}Ph{X()X(0)−≥2}∞∞n−λh()λh=∑P{}X()X(0)hn−==∑en=2n=2n!−λhhλ=ee(1)−−λh=oh()11江西理工大学理学院定义2⇒定义1令PtPtnPtn()=={X()}=−{X()X(0)=n},(1)当n=0时,PthP()X+={()0th+=}=Pth{}X(+−)X(0)=00=Pt{}X()X(0)−

7、=+0,X(tht)X()−=0=Pt{}X()X(0)−=0Ptht{X(+)X()−=0}=Pt()[1−+λhoh()]0PthPt()(+−)oh()00=−λPt()+,Pt′()=−λPt()000hh−λt−λtPtke0()=,QP0(0)=P{X(0)=0}=1∴Pte0()=12江西理工大学理学院(2)对n≥1，建立递推公式PthPn()X+={()thn+=}=Pth{}X(+−)X(0)=n=+Ptht{[X()X()][X()X(0)]−+−=tn}n=−∑Pt{}[X()X(0)]=njthtj−,X(+)X()−=j=

8、0n=−∑Pt{}[X()X(0)]=nj−+Pthtj{}X()X()−=j=0n=−∑Pt{}[X()X(0)]=nj