第5讲 离散型(完善泊松分布)

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1、概率论与数理统计第五讲教师：王大荣北京工业大学实验学院基础部数学办公室2-305§2.2离散型随机变量2.2.1离散型随机变量的概率分布定义1：设离散型随机变量X所有可能取的值为x,x,,且有12P(Xx)p,k1,2,。kk则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律，其中p,p,…满足12(1).p0,k1,2,;k用这两条性质判断一个数列是否是概(2).p1.k率分布。k概率分布也可用下面表格的形式给出：例1：设随机变量X的概率分布为kP(Xk)a,k0,1,2,,0为常数。k!确定常数a。解：依据概率分布的性质P(Xk)0,

2、P(Xk)1.k欲使上述数列为概率分布，应有ka0与aae1.k0k!从中解得ae.这里用到了幂级数展开式ke.k0k!例2：某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求其两次独立投篮后，投中次数X的概率分布。解：X可取的值为：0,1,2，且P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01，P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18,P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81.易见：P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1.常常表示为：012X~0.010.180.81这就是X的概率分布.例3.某射手连续向一目标射

3、击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X的概率分布.解:显然，X可能取的值是1,2,…，为计算P(X=k)，k=1,2,…，设A={第k发命中}，k=1,2,…，k于是P(X=1)=P(A1)=p,P(X2)P(AA)(1p)p122P(X3)P(A1A2A3)(1p)p设A={第k发命中}，k=1,2,…，k于是P(X=1)=P(A1)=p,P(X2)P(AA)(1p)p122P(X3)P(A1A2A3)(1p)pk1可见P(Xk)(1p)pk1,2,这就是求所需射击发数X的概率分布.例

4、4：如上图所示,电子线路中装有两个并联继电器。设这两个继电器是否接通具有随机性，且彼此独立。已知各电器接通的概率为0.8，记X为线路中接通的继电器的个数。求(1).X的概率分布；(2).线路接通的概率。解：(1).记A={第i个继电器接通},i=1,2.i因两个继电器是否接通是相互独立的,所以A和A相互独立，且P(A)=P(A)=0.8.1212下面求X的概率分布:首先，X可能取的值为:0,1,2.P{X=0}=P{表示两个继电器都没接通}P(AA)P(A)P(A)0.20.20.04,1212P{X=1}=P{恰有一个继电器接通}P(AA)P(AA)121

5、2P(A)P(A)P(A)P(A)12120.80.20.20.80.32,P{X=2}=P{两个继电器都接通}P(AA)12P(A)P(A)120.80.80.64.所以，X的分布律为(2).因线路是并联电路，所以P(线路接通)=P(只要一个继电器接通)=P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}=0.32+0.64=0.96.2.2.2常见离散型随机变量的概率分布1.两点分布若随机变量X只可能取0或1两个值，其概率分布为P{X=1}=p,P{X=0}=q.其中0

6、p).例5：200件产品中，有196件正品，4件次品，今从中随机地抽取一件，若规定1,取到正品，X()0,取到次品.则P{X=1}=196/200=0.98,P{X=0}=4/200=0.02.故X服从参数为0.98的两点分布，即X～B(1,0.98)。2、伯努里概型和二项分布例6设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.我们来求X的概率分布.X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为p.男女X=0X=1X=2X=3X=4X可取值0,1,2,3,4.X的概率分布是：kk4kP{Xk}Cp(1p

7、),k0,1,2,3,44例7将一枚均匀骰子抛掷3次，令X表示3次中出现“4”点的次数不难求得，X的概率分布是：k1k53kP{Xk}C()(),k0,1,2,3366一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：A或A，或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”新生儿：“是男孩”，“是女孩”抽验产品：“是正品”，“是次品”再设我们重复地进行n次独立试验(“重复”是指这次试验中各次试验条件相同)，每次试验成功的概率都是p，失败的概率都是q=1-p.这样的n次独立重复试验称