【全国百强校word】(炎德·英才大联考)湖南长沙长郡中学届高三上学期考(四)数学(理)试题

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1、数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则等于（）A．B．C．D．2.复数的共轭复数为（）A．B．C．D．3.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（）A．B．C．D．4.某企业生产甲、乙两种产品均需用，两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、1吨乙产品可获利分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为甲乙原料限

2、额（吨）3212（吨）128A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元5.若，则的取值范围是（）A．B．C．D．6.已知圆：，在圆周上随机取一点，则到直线的距离大于的概率为（）A．B．C．D．7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）11/11A．B．C．D．98.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）A．1007B．2015C．2016D．30249.已知三棱柱的侧棱和底面垂直，底面是正三角形，侧棱长是底边长的2倍，若该三棱柱的各顶点都在球的表面上，且球的表面积

3、为，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．10.若方程组至少有一解，且所有的解都是整数解，则有序实数对的组数为（）A．60B．66C．72D．7811.△的外接圆的圆心为，半径为1，且，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．12.在△中，内角，，所对的边分别是，，，已知，边上的中线长为4，则△面积的最大值是（）11/11A．9B．C．D．12第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来

4、米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约石．14.若为△内部任意一点，连并延长交对边于，则，同理连，并延长，分别交对边于，，这样可以推出；类似的，若为四面体内部任意一点，连，，，并延长，分别交相对面于，，，，则．15.双曲线：的左、右焦点分别为，，，两点在双曲线上，且，，线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为．16.设为实常数，是定义在上的奇函数，当时，，若对一切恒成立，则的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过

5、程或演算步骤.）17.设数列的前项和，，（，），且，，为等差数列的前三项．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和．18.2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如下表：生二胎不生二胎合计70后30154511/1180后451055合计7525100（1）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且视频率为概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为，求随机变量

6、的分布列和数学期望；（2）根据调查数据，是否有90%的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．参考公式：，其中．参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.87919.如图，四棱锥的底面是菱形，，，⊥，，二面角的大小为．（1）证明：；（2）求二面角的余弦值．20.已知椭圆：过抛物线的焦点，离心率为，直线交椭圆于，（异于点）两点，且⊥．（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值．21.已知函数（为自然对数的底数）．（1）若，

7、，求函数的单调区间；（2）若，且方程在内有解，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.11/1122.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，为曲线上一点，，且．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）求的取值范围．23.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）当时，解不等式；（2）当时，若关于的不等式的解集为空集，求实数的取值范围．炎德·英才大联考长郡中学2017届高三月考（四）数学（理）试题答案11

8、/11一、选择题题号123456789101112答案DBCDCAADBCAC二、填空题13.14.315.16.三、解答题17.解：（1）因为（），所以，∴，即，，所以，．（2），∴，①故，②①②得，整理得．18．解：（1）由已知得70后“生二胎”的概率为，并且，∴（），其分布列如下：0123所以．　11/11（2），所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．19.（1）证明：∵是的中点，，∴⊥，∵底面是菱形，∴⊥，又，∴面，又面，∴．（2）由（1）⊥面，面，∴⊥，过作⊥于，连接，则⊥面