数列上_下极限性质的推广应用

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1、第20卷第4期新疆教育学院学报Vol.20,No.42003年11月JOURNALOFXINJIANGEDUCATIONINSTITUTEDec.2003数列上、下极限性质的推广应用艾斯卡尔#阿布力米提X(新疆教育学院数学系,新疆乌鲁木齐830043)摘要:现行教村各给予数列上、下极限的简单性质,本文通过研究数列上、下极限和函数之间的关系,推出数列上、下极限的新性质,并且介绍性质的应用。关键词:上、下确界;上下极限;函数中图分类号:O13文献标识码:A文章编号:1008-3588(2003)04-0092-03一、数列上、

2、下极限的性质引理1若f(x)在R上单调增加的连续函数,那么对任意数列an,都有supf(an)=f(supan)(1)n1n1inff(an)=f(infan)(2)n1n1定理1若f(x)在R上单调增加的连续函数,则对任意数列an,都有limf(an)=f(liman)(3)ny]ny]limf(an)=f(liman)(4)ny]ny]引理2若f(x)在R上单调递减的连续函数,那么对任意数列an,都有supf(an)=f(infan)(5)n1n1inff(an)=f(supan)(2)n1n1定理2若

3、f(x)在R上单调递减的连续函数,则对任意数列an,都有limf(an)=f(liman)(7)ny]ny]limf(an)=f(liman)(4)ny]ny]定理3若f(x)在R上单调上升函数,则对任意数列an,都有limf(an)[f(liman)(3c)ny]ny]limf(an)[f(liman)(4c)ny]ny]二、性质的证明11引理的证明:当supan<+]时(因为f(x)在R上连续,所以f(supan)有意义),对任意n1n11,都有an[supan。由引理条件有f(an)[以f(supan)。据确

4、界定理,可得supf(an)[f(supan)。n1n1n1n1n1(当f(supan)=+]时,上述仍成立)n1只要证明supf(an)f(supan),就得(1)n1首先考虑集合A={anBf(an)=supf(an)}。若集合A=É,那么由f(x)在R上连续可令f(b)n1X[收稿日期]2003-03-22[作者简介]艾斯卡尔#阿不力米提(1962)),男,维吾尔族,新疆教育学院数学系副教授。92艾斯卡尔#阿布力米提:数列上、下极限性质的推广应用=supf(an),其中b=inf{xIRBf(x)=

5、supf(an)}(因为supf(an)[f(supan)<+],并且n1n1n1n1f(x)在R上连续,所以supf(an)有意义)。由于对任意n1,都有b>an,据确界定理b>supan,这n1n1说明f(an)[f(supan)[f(b)=supf(an)。若集合AXÉ,再令b=sup{anBf(an)=supf(an)},n1n1n1那么对任意n1,都有b>an。据确界定理,有b>sup(an)由已知样件可知supf(an)=f(b)1n1f(supan)n1当sup(an)=+]时

6、,必有数列{an}的单调上升子列{an}使liman=],所以有n1kky]kf(+])=f(liman)=limf(an)=supf(an)ky]kky]kk1k[supf(an)[f(supan)[f(+])k1k1f(+])<+]或者f(+])=+]上述同样成立总之,(1)成立。同理可证(2)21定理1的证明,由(1),可得limf(an)=limsupf(ak)ny]ny]k=limf(supak)ny]k=f(limsupak)ny]k=f(liman)ny]同样可证(4)。因为(5)、(6)

7、的证明方法同(1)、(2)、(7)和(8)的证明方法同(3)和(4),所以(5)、(6)、(7)、(8)的证明省略。31定理3的证明:由(1)可知supf(ak)[f(supak)。令b-n=supak,limbn=b,那么据单调kkny]上升函数的性质f(b-0)[f(b),可知是(3c)。同理可得(4c)。注意:定理3中的不等式不能改变等号,例如函数x,0[x<1f(x)=2=12,nnn是不连续的单调上升函数,但对数列{},有limf()

8、理中的符号不一定成立。三、性质的应用例1若{an}和{bn}为正数列,则blimblimann(liman)ny]n(9)ny]ny]blimblimann(liman)ny]n(10)ny]ny]只要不出现型式0b,]b,0]上式成立。x证明:当liman<+],limbn<+]时,由于函数e和函