复变函数第四讲

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1、第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分§1复变函数积分的概念§2柯西-古萨基本定理§3基本定理的推广§4原函数与不定积分§5柯西积分公式§6解析函数的高阶导数§7解析函数与调和函数的关系§1复变函数积分的概念1.有向曲线2.积分的定义3.积分存在的条件及其计算法4.积分性质1.有向曲线xx(t),设曲线C:(t)yy(t)22x(t)、y(t)C[,],且[x(t)][y(t)]0C:z(t)x(t)iy(t)(t))1(zt()连续且zt()0

2、Cz是平面上的一条光滑曲线.约定:C是光滑或分段光滑曲线.()因而可求长.C的方向：开曲线指定起点，终点，若:,ABAB为正则BA为负，记作C;闭曲线：正方向—观察者顺此方向沿前进C一周，的内部一直在观察者左边C.B(终点)CA(起点)CC2.积分的定义y定义设(1)wfzzD(),zzn1kB(2)CDA为区域内从点到kzk1zk点的一条光滑有向曲线B.z1(3)将ABn任意分划成个1oAD小弧段:,Azz,,.zB01nx(4)zzf,作乘积()z.kkk1kkn(5)作和

3、式Sfzznk()k，kzkzk1,k1记szz为的长度，max{s}，kkk1k1knn若limf(k)zkI)2(0(n)k1无论如何分割C,如何取i则称为Ιfz()沿曲线从到的积分CAB,记作fzdz()Cn即,f(z)dzlimf()z)3(kkCnk1分割作乘积求和取极限(1)若Cf为闭曲线，积分记作()zdz.Cb(2):Ct[,],()abfzut(),则fzdz()utdt().Cab(3)如果fzdz

4、()存在，一般不能写成fzdz()，Ca因为fzdz()不仅与ab,有关，还与曲线的CC形状和方向有关.3.积分存在的条件及其计算法定理当fzuxyivxy()(,)(,)在光滑曲线上C连续时,()fz必沿可积即C,fzdz()存在.C且f(z)dzudxvdyivdxudy)4(CCC记忆(uiv)(dxidy)C这个定理表明f(z)dz可通过二个二元C实变函数的第二类曲线积分来计算.Cf(z)dzCudxvdyiCvdxudy说明：1.当fz()是连续函数,C是光滑曲线

5、时，fzdz()一定存在.C2.()fzdz可以通过两个二元实函数的C.曲线积分来计算设光滑曲线C:zz(t)x(t)iy(t)t:由曲线积分的计算法得Cf(z)dzCudxvdyiCvdxudy()终fzdz(){((),())()uxtytxtvxtytytdt((),())()}C()起iv()终{((),())()xtytxtu(()())()}xtytytdt()起{[(),()]uxtytivxtyt[[(),()]]}(()xtiytdt

6、())f[()]()ztztdtfzdz()fztztdt[()]()(6)C4.积分性质由积分定义得：1)fzdz()fzdz()CC2)kfzdz()kfzdz()CC3)[()fzgzdz()]fzdz()gzdz()CCC4)CCCC(分段光滑曲线)12nfzdz()fzdz()fzdz()fzdz()CCC12Cn5)设的长度为CL,函数f()z在上满足Cf()zM则估fzdz()fzdsML()值定理.CC

7、例1计算zdzC,3为从原点到点4i的直线段.C1解zdz(34)(34)itidtyC01122A(34)itdt(34).i02又解zdz()xiydxidy()CCoxxdxydyiydxxdyCC容易验证右边两个积分都与路径无关,.12对连接OA的任意曲线,其上积分Cfzdz()(34).iC2dz例2计算，这里表示以为中心Cz,Cn10()zz0rn为半径的正向圆周，为整数.iyzzrei解C:zz0re020dzC(z

8、z)n10zrizC2ireo0d0reni1(1n)x2id20i，，n2i0d0renini2(cosnindsin)0，n0.rn0dzdz2i,n0,n1n1C(zz0)zz0r(zz0)0,n0.这个结果