几乎处处可导几乎可导基本上可导的关系

《几乎处处可导几乎可导基本上可导的关系》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第18卷第4期高师理科学刊V01．18No．41998年12月JournalofScienceofTeachersCollegeandUniversityDec．1998几乎处处可导几乎可导基本上可导的关系．一樊红云林营文(=)／／—．．——．．—．一(齐齐哈尔大学数学系)(齐齐哈尔化工学校)0／7／摘要给出了几乎可导、基本上可导概念，并证明了几乎处处可导函数类包含于几乎可导函数类包含于基奉上可导函数类是真包含关系．关键词几乎处处可导几乎可导基本上可导-—_———-————’一‘’——‘。-、‘—————’—一0问题的提出众所周知，有

2、界变差函数是几乎处处可导的，本文给出了和几乎处处可导相近的两个概念——几乎可导与基本上可导．并且讨论了几乎处处可导、几乎可导、基本上可导之间的联系与区别．1定义与结果本文用尺表示一维欧氏空间，ECR,mE表示点集E的Lebesgue测度．定义1设ECR，，是E上的实函数，∈E，如果，。J有限，且存在有限实数6，对任意o，存在0，当∈r一+n一{)J时，有；J上生^一bl<￡则称，㈦在点相对于E可导，且称6是，在∞点相对于E的导数，记为，)6(相对于E)．如果，r曲在E中每一点都相对于E可导，则称，f曲在E上可导．定义2设E为R中可测集

3、，，r为E上的实函数，如果存~：NCE，、满足：(1)raN=0，(2)对任意，：to∈E＼N，，在．To点都相对于E可导，则称厂㈨在E上几乎处处可导．定义3设E为R中可测集，，是E上的实函数，如果存~：NCE，满足：(1)mar=0，(2)，rz)在E一Ⅳ上可导，则称_，r曲在E上几乎可导．一定义4设E为尺中可测集，，是E上的实函数，如果对任意E>0，都存在可测子集EgXE，满足：(1)m

4、若ffz)在E上几乎处处可导，则ffz)在E上几乎处处连续．定理2若，f在E上几乎可导，则ffz)在E上几乎连续．定理3若，f曲在E上基本上可导，则，㈦在E上基本上连续．上面三个定理由引理1易证，从略．定理4若，f曲在阳上几乎处处可导，则，在阳上几乎可导，反之不真，其中a<包证由定义知若，在阳上几乎处处可导，则，r曲在司上几乎可导，反之不真．例子如下：+车文1998年8月Z4日收到．4高师理科学刊第18卷设fl_当曲gl中有理数时，、l0，当为gl中无理数时，则gfx)在6]上几乎可导(令Ⅳ为6]中有理数所成之集．则mN=o，gfx)

5、在6]一Ⅳ上可导)．但是由于gf在胡上非Rieroann可积，故gfx)在6]上非几乎处处连续，再由定理1知gf曲在6]上非几乎处处可导．引理2存在可测集z=6]，使得对任意开区间△ck6]，皆有m(△rlE)>O，m(△ncE)>0，其中口<6．(cE表E的余集)证见文献[2]的P59~P，62定理5若，f商在6]上几乎可导，则，f曲在阳上基本上可导，反之不真．其中4<证由定义知几乎可导基本上可导，反之不真．例子如下：令r一』1，当-r∈E时⋯l0，当。∈[6]一E时其中E是引理2中的可测集．首先证f曲在6]上是基本上可导的．事实上

6、对任意e>0，由E可测知存在闭集cE，使得m(E—R)0，(f．RJ表点集R与的距离)．再注意到f曲在R上恒等于1，在上恒等于0，由此易证对任意知∈RU，f曲在勘点皆相对于U可导，按定义知f曲在F1U上

7、可导．综上知垂f西在[4司上基本上可导．其次证f曲在[盔6]上非几乎可导．事实上对任意Ⅳc阳，nuV~O，在[6]一Ⅳ上皆不可导，取勘∈[bl一Ⅳ，不肪设为[6]的内点，对勘的任意领域△=(∞一，∞+)c[46]，由引理2知m(△nE)>0，又mⅣ一0，故m(△nEn([bl一Ⅳ))≥m(△nEn刃一Ⅳ)一m(△nE一Ⅳ)≥m(△rlE)-mN=m(△nE)>0，故△neF1(6]一^r))≠取丑∈△FlEA(6]一Ⅳ)，则恤)一1．由引理2又有m(△fleE)>O，同理可证△ncell(bl一Ⅳ)≠，取∈△ncEn(6]一Ⅳ)则㈨=

8、O．这证明了勘的任意领域△n(bl一^，)中皆台有两点曲和＆，使得垂)一1．‘现)=-0．故f曲在∞点相对于叼一N不可导，再由定义3知f曲在[阳上非几乎可导．综上所述知函数类(几乎处处可导函数}cO1,乎可导函数}c(基