资源描述：
《第二型曲面积分在三重积分计算中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、万方数据第24卷第4期2008年8月大学数学COLLEGEMATHEMATlCSV01．24，№．4Aug．2008第二型曲面积分在三重积分计算中的应用李冬辉，闫德明(河南教育学院数学系，郑州450014)[摘要]利用高斯公式，给出一个把一类三重积分的计算转化成曲面积分计算的定理及一些特殊的形式，并通过几个例子说明这个定理的应用．[关键词]第二型曲面积分；三重积分；高斯公式[中图分类号]0172．2[文献标识码]c[文章编号]1672—1454(2008)04—0169—05在曲面积分的计算中，高斯公式建立了空间封闭曲面上的曲面积分与三重积分的联系．但是，由
2、于高斯公式在结构上的特殊性，在应用高斯公式时往往是将曲面积分的计算转化为三重积分的计算，却很少利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积分的计算，忽视了曲面积分在三重积分计算中的作用．本文给出把一类三重积分转化成曲面积分的一个定理，并举例说明这个定理的一些应用．本文中列举的例子其目的只是说明应用这个定理如何计算三重积分，也许这些例子利用三重积分的计算公式直接计算更为简单一些．1定理设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成，函数f(x，Y，z)在V上连续，且具有一阶连续的偏导数，若klx箬+是：y筹+毒。z箬一壶，，(x,y,z)，而点，+忌：+是。+志。≠0
3、，则，，f(x,y,z)dxdydz=五_j二乏梳9孑厂(z，y，z)(量·．zdyd2+忌zydzd-r+足。zdzdy)，其中S取外侧．7．证取P(x，Y，2)----k1·z·f(x，Y，2)，Q(x，Y，z)=k2·Y‘f(x，Y，z)，R(z，Y，z)=k3·2·f(x，Y，z)，。则adPzk∥x,y,z)+量。z箬，骞一毒z，cx,y,z)+是zy善，蓑=志。，(x,y,z)+忌sz誓，从而akP+aOv4_adRz=(忌，+志：+¨·厂(x,y,zdd)+忌。z·鬈+矗：y·誓Y+是。z·荔Z～0Zo工oU’‘=(志1+志2+惫3+点4)·f
4、(x，Y，z)．由于函数f(x，Y，z)在y上连续，且具有一阶连续的偏导数，所以P(x，了，z)，Q(x，Y，z)，R(x，Y，z)在yE连续。目具有一阶连续的偏导数，由高斯公式，[收稿日期]2006—05—25万方数据170大学数学第24卷得从而坷(差+a五Q+3⋯R、ldxdydz=舒呐蚪眦蚪胁虹坷c志-+七z+愚。+惫。，’，(x,y,z)dxdydz=好厂cz，y，为·(klxdydz'}-kzydzdx-kkazdxdy),Ⅱ，f(x,y,z)dxdydz=南gm伪小(klxdydzq-kzydzdx"t-kazdxdy)．2推论①当惫，z笔一是∥
5、x,y,z)ilk。+志，≠o时，Ⅲm小别曲护点好如·f(x,y,z协把②当奄2ya瓦f=是tf(x,y,z)且足2+忌·≠o时，Ⅲm啪洲曲扣点§切·f(x,y,z地也③当矗。z瓦af=是tf(x,y,z)且志s+愚a≠o时，f(x,y,z)dxdydz=蕊1好址·f(x,y,zm妣④当志，z箬+忌：y筹=志。厂(x,y,z)且是。+愚：+血。≠o时，Ⅲm啪别加护南§，(z，y∽(如州z+切捌n⑤当志，z箬+志。z誓一点。厂(x,y,z)且是。+走。+惫。≠o时，z)捌j，dz=订去丽§厂(z小州如州z+址如∽．⑥kzy蓦托2箬咄厂(x,y,z)胍讹托≠o时
6、'z)d工dydz=南z)(愚2ydzdz+矗3zdzdy)．⑦当志-z箬+走zy琴+志。z誓=。且志·+志z+志。≠。时，3应用举例§，(z，y，z)(是。工dydz+志2ydzdz+志3z出dy)．例l计算Ⅲ(xy+z2)出dyd2，v=F一2，5]×[一3，3]×[。，13．解f(x,y,z)_zy+22'再af一_y，箬=工，瓦af_一22，z筹+y筹+z瓦af=2(zy+列，由定理得J=Ⅲ(xyw№州z=}妤my彬№蚪y(zyw地¨丸yw№蚍万方数据第4期李冬辉，等：第二型曲面积分在三重积分计算中的应用171其中S是立方体V的六个面，取外侧．取D，
7、={(y，2)l一3≤y≤3，O≤名≤1}，D。={(z，z)10≤2≤1，一2≤z≤5}，D。={(z，y)I一2≤z≤5，一3≤y≤3}．贝Ⅱ，=÷f盯(5y+z2)5d了d2一盯(一2y+22)(一2)dyd2+Ⅱ(3z+z2)3d2dz。％DD。。er～Ⅱ(咄杉)(一3№dLr+盯(埘1)d曲]州．例2计算f一Ⅲ石弭南dzd了d2．解考虑积分虿扬捌y忆f(x,y,z)一型一一!兰az(z2+Y2+z2)4’型：一!!ay(z2+y2+z2)4’1(z2+y2+z2)3’型一一鱼兰az(z2+y2+22)4’z箬+y箬+z誓=一6·若筠=一6·石耳南一
8、～6·，cz，y∽．由定理得J一一封盯硒南而dydz
