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1、教案二Runge-Kutta方法基本内容提要:1.Runge-Kutta方法的基本思想,2.二级二阶Runge-Kutta方法,3.三级三阶Runge-Kutta方法,4.四级四阶经典Runge-Kutta方法.教学目的和要求：1.掌握二级二阶Runge-Kutta方法,2.掌握经典Runge-Kutta方法.教学重点：1.Runge-Kutta方法的基本思想,2.二级二阶Runge-Kutta方法,3.四级四阶经典Runge-Kutta方法.教学难点：1.Runge-Kutta方法的基本思想,2.经典R
2、unge-Kutta方法.课程类型：新知识理论课.教学方法：结合提问，以讲授为主.教学过程：问题引入1显式Euler方法是最简单的单步法,它是一阶的,可以看作Taylor展开后取前面的两项.因此,得到高阶方法的一个直接思想是用Taylor展开,如果能计算y(x)的高阶导数,则可写出p阶方法的公式h2hpy=y+hy0+y00+¢¢¢+y(p);n+1nnnn2p!其中y(j)(j)(x)的近似值(j=0;1;¢¢¢;p).若将f(x;y),@f,@f;¢¢¢,分别记成f;f;f;¢¢¢,n可以看作yn@x
3、@yxy则对于二阶和三阶导数可表示为:y00=f+ff;xyy000=f+2ff+ff+ff2+f2f:xxxyxyyyy这个方法并不实用,因为一般情况下,求f(x;y)的导数相当麻烦.从计算高阶导数的公式知道,方法的截断误差提高一阶,需要增加的计算量很大.但是由此启发我们用区间上的若干个点的f导数,而不是高阶导数,将它们作线性组合得到平均斜率,将其与解的Taylor展开相比较,使得前面若干项相吻合,从而得到具有一定阶的方法.Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法的基本思想Runge-Kut
4、ta方法的一般形式为XLy=y+h¸K0n+1niii=1K1=f(xn;yn);Xi¡1Ki=f(xn+cih;yn+cihaijKj);i=2;3;¢¢¢;L;j=1PLPi¡1其中,ci·1,i=1=1,j=1aij=1.它的局部截断误差是XLT=y(x)¡y(x)¡h¸K¤;n+1n+1niii=1之中,Ki¤与Ki的区别在于:用微分方程准确解y(xn)代替Ki中的yn就得到Ki¤.参数¸i;ci和aij待定,确定它们的原则和方法是:将上式作Taylor展开到(xn;y(xn))处,将展开式按h的
5、幂次整理后,令Tn+1中h的低次幂的系数为零,使Tn+1首项中h的幂次尽量高.这就是Runge-Kutta的基本思想.几类显式的Runge-Kutta方法1.二级二阶中点公式:hhyn+1=yn+hf(xn+;yn+f(xn;yn));2222.常见的三级三阶方法:hyn+1=yn+(K1+4K2+K3);6K1=f(xn;yn);hhK2=f(xn+;yn+K1);22K3=f(xn+h;yn¡hK1+2hK2):3.四阶经典Runge-Kutta方法:hyn+1=yn+(K1+2K2+2K3+K4);
6、6K1=f(xn;yn);hhK2=f(xn+;yn+K1);22hhK3=f(xn+;yn+K2);22K4=f(xn+h;yn+hK3):在基本相当的计算量的情况下,用经典方法对比Euler方法的优劣.例8.3考虑初值问题(y0=¡y+1;y(0)=0:其解析表达式为y(x)=1¡e¡x.分别用h=0:025的显示Euler方法,h=0:05改进Euler法和h=0:1的经典R-K方法计算到x=0:5.三种方法在x方向每前进0.1都要计算4个右端函数值,计算量相当.主要内容总结布置作业参考文献:1.B
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