第五章有噪信道编码(8)

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1、5.2错误概率和编码方法5.2.1减少错误概率的方法一般当信道给定即信道矩阵给定，不论采用什么译码规则，P总不会等于或趋于零E例如,一个二元对称信道XYp=099.a=0b=011p=001.pa1=1b2=1p若选择最佳译码规则Fb(11=00)==(a)Fb()11=11==()a则总的平均错误概率−2PE==00110.(输入等概分布)一般要求系统的错误概率在10－6～10－9的范围内，有的甚至要求更低的错误概率。问题：如何使错误概率降低？解决方法之一：简单的重复编码只要在发送端把消息重复发几遍，就可使接收端接收消息时错误减小，从而提高了通信的可靠性。在二元对称信道中，当发送

2、消息（符号）0时，不是只发一个0而是连续发三个0；同样发送消息（符号）1时也连续发送三个1。没有使用用作消息输出端的码字的码字接收序列α1=000000=β1α2=001001=β2α3=010010=β3二元对称信道α4=011011=β4的三次扩展信道α5=100100=β5α6=101101=β6α7=110110=β7α8=111111=β8信道矩阵为ββββββββ1234567832222223α1⎡⎤ppppppppppppppP=⎢⎥32222223α8⎣⎦pppppppppppppp根据最大似然译码规则（假设输入等概率），可得简单重复编码的译码函数为F(β1)=α

3、1F(β5)=α1F(β2)=α1F(β6)=α8F(β3)=α1F(β7)=α8F(β4)=α8F(β8)=α8计算得译码后的错误概率为1PPE==∑∑()αβiP()jiαP()βjiα33∗∗MYCa−−YCa132222223=+++++++⎡⎤pppppppppppppp⎣⎦232−4=+pp33p≈×10()当p=0.01结论：简单重复编码方法可以纠正发生一位码元的错误，译错的可能性变小了，因此错误概率降低。重复更多次n=5,7,…一定可以进一步降低错误概率。可算得−5nP=≈510E−7nP=≈7410×E−8nP=≈910E−10nP=≈11510×E所以当n很大时

4、，使P很小是可能的E新问题出现：当n很大时，信息传输率会降低很多编码后的消息传输率（也称码率）表示为logMR=()比特码符号/n问题：能不能找到一种更好的编码方法，使P相当低E，而R却保持在一定水平呢？解决：香农第二基本定理，即为有噪信道编码定理。简单重复编码的方法为什么使信息传输率降低？未重复编码以前（n＝1），输入端是有二个消息（符号）的集合，M=2。假设为等概率分布则每个消息（符号）携带的信息量是logM=1(比特/符号)。简单重复后（n=3），把信道看成是三次无记忆扩展信道。这时输入端有8个二元序列可以作为消息（α…α)，只选择了二个二元序列作为消息，M=218每个消息携

5、带的平均信息量仍是1比特。而传送一个消息需要付出的代价却是3个二元码符号，所以R就降低到1/3（比特/码符号）发送消息接收消息α1=000000=β1α2=001001=β2α3=010010=β二元对称信道3α4=011的三次扩展信道011=β4α5=100100=β5α6=101101=β6α7=110110=β7α8=111111=β8只能规定接收端8个输出符号序列β与α一一对应。ji32−PPpEE=−=−≈×113100(p=.01)在一个二元信道的n次无记忆扩展信道中，输入端有2n个符号序列可以作为消息。如果选出其中的M个作为消息传递，则当M大一些，P也就跟着大，R也E

6、大。M取小一些，P就降低些，而R也要降低。E例如：若在三次无记忆扩展信道中，取M=4，取如下4个符号序列作为消息000011101110信道矩阵为ββββββββ1234567832222223α1⎡pppppppppppppp⎤⎢22233222⎥=α4⎢pppppppppppppp⎥P⎢22322322⎥α6pppppppppppppp⎢⎥23222232α7⎣pppppppppppppp⎦按照最大似然译码规则，采用的译码函数为F(β)=αF(β)=α1156F(β)=αF(β)=α2166F(β)=αF(β)=α3477F(β)=αF(β)=α4487计算出错误概率为P≈2×

7、10−2E与M=8的情况比较，错误概率降低了，而信息传输率也降低了，即log42R==()比特码符号/33编码的方法不同，错误概率是不同的编码的方法不同，错误概率是不同的M=4第Ⅰ种选法M=4第Ⅱ种选法000000011001101010110100第Ⅰ种选法：P≈2×10−2E第Ⅱ种选法：P≈2.28×10−2E结论：错误概率与编码方法有很大关系例如：M=4，n＝5这时信道为二元对称信道的五次无记忆扩展信道。这个信道输入端可有25=32个不同的二元序列，我们选取其中