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1、应用数学和力学,第21卷第6期(2000年6月)应用数学和力学编委会编AppliedMathematicsandMechanics重庆出版社出版文章编号:1000_0887(2000)06_0551_10Krylov子空间投影法及其在油藏数值X模拟中的应用刘晓明,卢志明,刘宇陆(上海市应用数学和力学研究所,上海大学,上海200072)(我刊编委刘宇陆来稿)摘要:Krylov子空间投影法是一类非常有效的大型线性代数方程组解法,随着左右空间Lm、Km的不同选取可以得到许多人们熟知的方法#按矩阵Hm的不同类型,将Krylov子空间方法分成两大类,简要分析了这两类方
2、法的优缺点及其最新进展#将目前最为可靠实用的广义最小余量法(GMRES)应用于油藏数值模拟计算问题,利用矩阵分块技术,采用块拟消去法(PE)对系数阵进行预处理#计算结果表明本文的预处理GMRES方法优于目前使用较多的预处理正交极小化ORTHMIN方法,最后还讨论了投影类方法的局限和今后的可能发展方向#关键词:Krylov子空间投影法;块拟消去法;油藏数值模拟中图分类号:O24116文献标识码:A引言工程上,几乎所有问题的最后求解都归结为求解线性代数方程组Ax=f,(1)油藏数值模拟计算也不例外,当上述方程组的阶数不太大时,采用直接解法非常有效,但当方程阶数很
3、大时宜采用迭代法求解,如点迭代、松弛迭代、共轭梯度(CG)方法以及正交极小化(ORTHMIN)方法等#当系数阵A是对称正定(SPD)时,结合预处理的共轭梯度法是最有效的迭代解法之一;而当A是非SPD阵时,问题将复杂很多,而大多数工程计算问题中A是非SPD阵#近几十年来,许多作者对此作了大量研究,提出了许多比较有效的迭代解法,其中大多数[1]方法属于Krylov子空间投影方法#Y.Saad推广了CG类方法,首次明确提出了Krylov子空间[2]投影法,该法从70年代起受到注意和重视,稍后Saad和Schultz建立了投影类方法FOM方法(或Arnoldi方法)
4、、IOM(m)方法、DIOM(m)方法和广义最小余量方法(GMRES方法)等与CG类方法之间的一些重要的等价关系#Krylov子空间投影法是一类方法,随着左右空间的不同取法,可以得到许多已知的方法,同时也提供了一条构造更多新方法的途径#本文根据矩阵X收稿日期:1999_03_15;修订日期:1999_12_10基金项目:国家自然科学基金资助项目(19872043)作者简介:刘晓明(1950~),男,上海人,副研究员,校长助理.551552刘晓明卢志明刘宇陆Hm的不同类型,将Krylov子空间投影法分为两大类,从每步迭代是否具有最优性和方法的存储量及计算量等方
5、面对该两类方法进行了简要分析对比#然后将目前最为有效和可靠的广义[3]最小余量法(GMRES方法)应用于油藏数值模拟计算,并与目前油藏数值模拟中使用较多的ORTHMIN方法进行了对比#在111节简单介绍Krylov子空间投影法的基本理论,112节和113节分别简要介绍Arnoldi类方法和Lanczos类方法,第2节介绍GMRES方法在油藏数值模拟中的应用#第3节是结论,并指出了Krylov子空间法中几个值得进一步深入研究的方向#1Krylov子空间投影法111Krylov子空间投影法基本理论对于大型线性代数方程组(1),令左、右空间Lm和Km分别为Lm=s
6、panw1,w2,,,wm,Km=spanv1,v2,,,vm,其中vi,wi(i=1,2,,,m)是各自线性无关的向量#假设x0为初始迭代值,用投影类方法寻求这样的一种近似解:xm=x0+zm,zm=VmymIKm,(2a,b)rm=f-Axm=r0-Az0LLm,其中r0=f-Ax0#令:THm=WmAVm,(3)如果矩阵Hm满足det(Hm)X0,则投影类方法有如下形式的解:-1Txm=x0+Vm#Hm#Wm#r0#(4)但是上述公式还无实际用处,因为Km、Lm都还未确定,令Km、Lm分别为Krylov子空间:m-1Km(B,r0)=spanr0,Br
7、0,,,Br0,m-1Lm(C,r0)=spanr0,Cr0,,,Cr0,其中B、C分别为与A有关的矩阵,此时我们称该法为Krylov子空间投影法,那么,如何选取和构造Km、Lm的正交基vi、wi(i=1,2,,,m),使得Hm阵具有特殊结构而易于求逆,从而整个方法便于实施?很容易知道,通过Gramm_Schmidt正交化过程得到vi、wi(i=1,2,,,m),并使得Hm为上Hessenberg阵,或通过Lanczos双正交化过程使得Hm为三对角阵#事实上,据本文作者所知,大多数的Krylov子空间投影法都采用上述两种正交化过程,或与它们紧密相关#下面将简
8、单讨论这两种不同的方法,并介绍其最新的进展#112基
