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1、实用标准文案Krylov子空间的定义：定义：令，由所生成的子空间称之为由与A所生成的m维Krylov子空间，并记。主要思想是为各迭代步递归地造残差向量，即第n步的残差向量通过系数矩阵A的某个多项式与第一个残差向量相乘得到。即。但要注意，迭代多项式的选取应该使所构造的残差向量在某种内积意义下相互正交，从而保证某种极小性（极小残差性），达到快速收敛的目的。Krylov子空间方法具有两个特征：1.极小残差性，以保证收敛速度快。2.每一迭代的计算量与存储量较少，以保证计算的高效性。投影方法线性方程组的投影方法方程组,A是的矩阵。给定初始,在m维空间K(右子空间）中寻找x的近似解满足残向量与m维
2、空间L(左子空间）正交，即，此条件称为Petrov-Galerkin条件。当空间K=L时，称相应的投影法为正交投影法，否则称为斜交投影法.投影方法的最优性：１.(误差投影)设A为对称正定矩阵,为初始近似解,且K=L,则为采用投影方法得到的新近似解的充要条件是其中,文档实用标准文案2.(残量投影)设A为任意方阵,为初始近似解,且,则为采用投影方法得到的新近似解的充要条件是其中矩阵特征值的投影方法对于特征值问题,其中A是n×n的矩阵，斜交投影法是在m维右子空间K中寻找和复数满足,其中L为m维左子空间.当L=K时，称此投影方法为正交投影法.误差投影型方法：取L=K的正交投影法非对称矩阵的FO
3、M方法（完全正交法）对称矩阵的IOM方法和DIOM方法对称矩阵的Lanczos方法对称正定矩阵的CG方法残量投影型方法：取L=AK时的斜交投影法 GMERS方法（广义最小残量法）重启型GMERS方法、QGMERS、DGMERSArnoldi方法标准正交基方法：Arnoldi方法是求解非对称矩阵的一种正交投影方法。Arnoldi算法就是对非对称矩阵A，产生Krylov子空间文档实用标准文案的一组标准正交基的方法。该算法构造的一组标准正交基和Hessenberg矩阵，基于Gram-Schmit正交化方法首先，选取一个Euclid范数为1的向量,对,通常可取，在已知的情况下,不妨设线性无关(
4、否则构造完毕),则可求出与每个都正交的向量而不难看出，再记，得到与都正交的向量，重复此过程，即可得到一组标准正交基。若期间某个j使得，则说明v的次数是j，且是A的不变子空间。Arnoldi算法：（1）取向量，满足（2）按（2）式计算，再按（1）式计算（3）按（3）式计算，若，则停止，否则按（4）式计算（4）若，则，转（2），否则停止（1）文档实用标准文案（2）（3）（4）定理：如果记以为列构成的矩阵为,由定义的(m+1)×m阶上Hessenberg矩阵（假设一个阶矩阵A，在时，它的，那么这个矩阵A就叫做Hessenberg矩阵）为,删除最后一行得到的矩阵为，则：在Arnoldi算法中，
5、可能有较大舍入误差，改写：修正的Arnoldi算法：（1）取向量，满足（2）计算（3）依次对，计算与（4）计算，若，则停止，否则计算（5）若，则，转（2），否则停止FOM（完全正交化）方法非对称矩阵的FOM方法：解方程组的投影法的矩阵表示设阶矩阵与的列分别构成K与L的一组基。记，有当非奇异时，有，从而得到迭代公式：文档实用标准文案FOM算法：（1）计算，，，置（2）计算（3）依次对，计算与（4）计算，若，则置，转（6）（5）计算，若，则置，转（2）（6）按下式计算不难看出，当采用上述FOM算法时，需要存储所有的，(i=1,2,…m)，当m增大时，存储量以量级增大.而FOM计算量是.可见
6、其代价十分高昂.因此我们考虑重启的 FOM算法重启型FOM算法：（1）计算（2）生成的一组标准正交基，得到（3）按下式计算，若满足精度要求，则停止，否则置，转（1）。IOM方法非对称矩阵的IOM方法所谓不完全正交化方法(IOM),是指在正交化过程中,仅与最近k个文档实用标准文案正交,这样做虽然破坏的正交性,但是降低了计算量.当然k选得越小，对每个j对应的计算量也越小,但可能要选更大的m才能取得满足精度要求的近似解.IOM算法仅仅是把FOM算法的第三步改为，计算与。但采用IOM后，仍然需要存储,因为在第(vi)步中仍然需要这些向量.解决这个问题可以考虑采用H的LU分解，通过自身分解的迭代
7、更新以减少每一步的存储量DIOM算法：（1）计算，，，置（2）计算（3）对，依次计算与（4）计算（5）按（4）式更新的LU分解，若，则停止（6）按（3）式计算，按（2）式计算，其中时，（7）按（1）式计算，若符合精度要求，则停止，否则，转（2）（1）（2）（3）文档实用标准文案（4）Lanczos方法Lanczos方法是求解大规模稀疏对称矩阵端部特征问题的一种常用的正交投影方法。它在Krylov子空间上对对称矩阵采用Rayleign-Ritz方
