taylor公式的若干推广new

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1、Vol.13,No.1高等数学研究Jan.,2010STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS39Taylor公式的若干推广张新建(国防科技大学理学院数学与系统科学系,长沙,410073)摘要在分析Taylor公式结构特征的基础上讨论Taylor公式的推广.指出通过每一个线性微分算子和每一组线性泛函都可得到函数的类似于Taylor公式的表达式,通常的Taylor公式只是微分算子和线性泛函的特殊选取.并证明类似的结果可以推广到抽象的Hilbert空间.关键词微分算子;线性泛函;广义Taylor公式;H

2、ilbert空间.中图分类号O1721经典Taylor公式结构分析上一组线性无关的泛函,φi(t)(i=1,2,⋯,m)是m0对给定的区间[a,b]和正整数m,设函数空间kerD的与λi(i=1,2,⋯,m)对偶的基底,即m0W2[a,b]={f(t),t∈[a,b]:λiφj(t)=δij,(i,j=1,2,⋯,m.)(4)(m-1)f(t)在[a,b]上绝对连续,其中δij=1(i=j),0(i≠j).且g0(t,s)满足(m)20f(t)∈L[a,b]}.λig0(·,s)=0(i=1,2,⋯,m),2m

3、其中L[a,b]为[a,b]上的平方可积函数空间.由微Dg0(·,s)=δ(s-·)(5)积分学中的带积分余项的Taylor公式知道,每个函上式中的δ(x)是狄拉克函数,即对任意包含x=0在数f(t)可以写成内的区间[x1,x2],有mi-1x2f(t)=∑f(i-1)(a)(t-a)+δ(x)f(x)dx=f(0).i=1(i-1)!∫x1t(t-s)m-1记公式(3)中的Taylor余项为(m)f(s)ds.(1)a∫a(m-1)!mrm(t)=g0(t,s)[Df(s)]ds,(6)首先分析上述Taylo

4、r公式的构成.为此,记∫b(t-a)i-1则由上面的分析还可以知道(3)式中Taylor多项式φi(t)=(i=1,2,⋯,m),(i-1)!和Taylor余项分别满足m-1m(t-s)+g0(t,s)=,(λ0m,(m-1)!∑if)φi(t)∈kerDi=1其中0rm(t)∈kerΛ,(7)(t-s)kk(t>s),0000+=(t-s)其中向量值算子Λ=(λ1,λ2,⋯,λm).k(t-s)+=0(t≤s).2多项式广义Taylor公式m引入m阶微分算子D:式(3)-(7)提供了Taylor公式的一些结构

5、信息,Dmf(t)=f(m)(t),m0Taylor公式是由微分算子D和泛函λi(1≤i≤m)决0m0再设λi是W2[a,b]空间上的一组线性泛函定的.若将公式(3)中的泛函λi(1≤i≤m)换成一般0(i-1)λif=f(a),(2)的线性泛函,Taylor公式(3)应有更一般的形式.则Taylor公式m(1)可写为定理1设λi(i=1,2,⋯,m)是W2[a,b]空间mm0上任意一组线性泛函,在kerD上线性无关,且与积f(t)=∑(λif)φi(t)+mi=1分可交换秩序,则每个f(t)∈W2[a,b]都

6、可表示为bmmg0(t,s)Df(s)ds.(3)∫af(t)=∑(λif)xi(t)+0mi=1易知λi(i=1,2,⋯,m)是D的核空间mkerDm={f(t)∈Wmmf(t)=0}[rm(t)-(λirm)xi(t)],(8)2[a,b]:D∑i=1m0其中xi(t)(i=1,2,⋯,m)是kerD的与λi(i=1,收稿日期:2008-05-12;修改日期:2008-10-23.2,⋯,m)对偶的基底,即作者简介:张新建(19562),男,湖南新邵人,博士,教授,主要从事函数逼(m)近论、样条与再生核理论

7、研究,E_mail:xjz_20075@163.com.xi(t)=0,©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net40高等数学研究2010年1月λixj(t)=δij(i,j=1,2,⋯,m).(9)3非多项式广义Taylor公式0证明由(3)式得将(3)式中的泛函λi(i=1,2,⋯,m)换成一般m的线性泛函,得到多项式广义Taylor公式(8),公式0λjf=(λi

8、f)(λφji)+∑mi=1中的第一部分仍是多项式.这一节我们将算子D推bλm广为任意线性微分算子L,推广后的Taylor公式中将jg0(·,s)Df(s)ds(j=1,⋯,m),(10)∫a不再是多项式.记矩阵设有m阶线性微分算子M=(λφij)m×n,mm-1L=D+am-1(t)D+⋯+m由λi(i=1,2,⋯,m)在kerD上线性无关知M是可a1(t)D+a0(t),t∈[a,