《电动力学》习题解答6------狭义相对论2

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1、《电动力学》习题解答6------狭义相对论2v6、电荷量为q的点电荷以匀速v相对于惯性系∑运动，取另一个参考系∑′跟随q运动，使q位于∑′系的原点O′,沿着q的运动方向取x轴和x′轴，y′轴和z′轴分别平行于y轴和z轴，并使t=0和t′=0时刻∑′和∑两系的原点重合。试求在∑系观察到的q所产生的电磁场。解[法一]，在∑′中，q产生的电场为静电场,有vvqr′E′=（1）34πεr′0vB′=0由狭义相对论的电磁场变换公式，在∑系中，q产生的电磁场为qx′qγ(x−vt)E=E′==（2）xx334πεr′4πεr′0

2、0qyE=γ()E′+vB′=γE′=γ（3）yyzy34πεr′0qzE=γ()E′−vB′=γE′=γ（4）zzyz34πεr′0vvvγqr−vtE=（5）34πεr′01式中γ=2v1−2c3[222]32[2()222]32r′=x′+y′+z′=γx−vt+y+z（6）B=B′=0（7）xxvvqzBy=γB′y−2Ez′=−γ23（8）cc4πε0r′1《电动力学》习题解答6------狭义相对论2vvqyBz=γBz′+2E′y=γ23（9）cc4πε0r′vvvvvvq−zey

3、+yezqv×rB=γ=γ（10）2323c4πε0r′4πε0cr′vvvv所以，在∑系中观测，t时刻r=xi+yj+zk处的电磁场为vvvγqr−vtE=（1422232222232πε0[]x′+y′+z′=[]γ()x−vt+y+z1）vvvqv×r1vvB=γ=v×E（123224πεcγ2xvt2y2z2c0[]()−++2）[解法二]利用四维矢势求解。vi∑′系中的四维矢势为Aµ′=A′,ϕ′，其中cvA′=0（13）q1ϕ′=（14）4πεr0变换到∑系vivA=aA′+aA′=−iγϕ′=

4、γϕ′（15）11114142cccA=aA′=0（16）2222A=aA′=0（17）3333iA=aA′+aA′=γϕ′（18）4141444cvvvqexA=γ（19）2c42xvt2y2z2πε0γ()−++γq1ϕ=（20）42222πε0γ()x−vt+y+z所求的电场强度为2《电动力学》习题解答6------狭义相对论2vv∂AE=−∇ϕ−∂tγq1vq∂ex=−∇−γ242222c4t2222πε0γ()x−vt+y+zπε0∂γ()x−vt+y+zvvγqr−vt=3242222πε0[]γ()x−v

5、t+y+z(21)所求的磁感应强度为vvB=∇×Avqex=γ∇×2c42222πε0γ()x−vt+y+zvvγqv×r1vv==v×E23224c2xvt2y2z2cπε0[]γ()−++（22）[解法三]利用推迟势在∑系求解v以速度v运动的带电荷量为q的粒子（当作点电荷）所产生的推迟势为vq1ϕ()r,t=vv（23）4πεar−r′0vvvqv1A()r,t=vv（24）24πεcar−r′0v式中r′是t′时刻q的位矢vvvvvvvv⋅(r−r′)ar−r′=r−r′−（25）cvvr−r′t′=t−（26）

6、c所求的电场强度为vvvv∂A()r,tE()r,t=−∇ϕ()r,t−∂tvq1vvv∂vv=vv2×∇()ar−r′+2()ar−r′（27）4πε0()ar−r′c∂t其中vvvv∂vv∇()ar−r′=[]∇()ar−r′+()ar−r′∇t′t′∂′t3《电动力学》习题解答6------狭义相对论2rv−rv′vvvv⋅()rv−rv′v2rv−rv′=vv−+−vv+×−vv（28）r−r′cr−r′ccar−r′vvv2∂()vvv⋅()r−r′va

7、r−r′=−vv+（29）∂t′r−r′c由（28）、（29）两式得vvvv∂vv∇()ar−r′+()ar−r′2c∂tvv∂vv=[]∇()ar−r′+()ar−r′∇t′t′∂′tvv∂vv∂t′+()ar−r′2∂′ct∂tvvv∂vvv∂t′=[]∇()ar−r′+()ar−r′∇t′+t′∂′2tc∂t2v1−vvc2vvr−r′v=vvr−r′−var−r′c（30）代入（27）式得2v1−vvvvqc2vvr−r′vE()r,t=vv3r

8、−r′−v（31）4πε0()ar−r′cv其中左边是r处t时刻的电场强度，而右边的量则是t′时刻的值，将其化为t时刻的值，有vvvvr−r′vvvr−r′−v=r−vt（32）c而vvvvvvvv⋅()r−r′ar−r′=r−r′−c22v222v2=1−[]()x−vt+y+z+()x−vt22cc