modern control 8

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1、现代控制理论基础ElementsofModernControlTheory主讲：董霞西安交通大学机械工程学院第八章离散系统的状态空间描述与分析前面几章所讨论的控制系统都是连续系统。在这类系统中，所有信号都是时间变量的连续函数，信号函数允许有有限个间断点，这种信号称为连续信号或模拟信号，相应的系统即为连续系统或模拟系统。近年来，随着计算机技术的发展及对控制系统性能要求的提高，计算机在控制系统中的应用越来越广泛。在加入了计算机（绝大多数为数字计算机）的控制系统中，我们不是连续地取时间的值，而是离散地取值，t即信号仅在时间tn=T（T是定值

2、；n=0,1,2,L）时有值，而在两个相邻时刻nT与(1nT+)之间是不确定的，这种信号就称为离散信号。系统中某一部分的信号是离散的，或者含有一个或多个离散信号的系统都称为离散系统。1离散系统也可以用状态空间表达式来描述和分析。前面几章谈到的连续系统用状态空间表达式来描述和分析的优点对离散系统也是相同的，而且，离散系统的状态空间表达式更便于用计算机来求解和处理。2本章主要内容8.1离散系统分析基础8.2离散系统状态空间表达式的建立8.3离散系统的传递矩阵8.4离散系统的运动分析8.5离散系统的李亚普诺夫稳定性分析8.6离散系统的可控性

3、与可测性8.7基于MATLAB的离散系统分析38.1离散系统分析基础有时，离散系统亦称采样系统或数字控制系统，离散信号亦称采样信号或数字控制信号。一般采样系统典型框图如图8-1所示rt()et()ct()⊗TGsh()GsP()-采样开关保持器控制对象图8-1采样系统典型框图计算机控制系统（数字控制系统）原理方框图如图8-2所示：∗∗rt()+et()et()ut()uth()ct()⊗A/D数字控制器D/A被控对象-数字计算机测量元件图8-2计算机控制系统典型框图4rt()et()et∗()∗ut()ct()ut()h⊗GsD()G

4、sh()GsP()-TTHs()图8-3计算机控制系统方框图通常在分析计算机控制系统时，把A/D和D/A的工作过程理想化，即认为A/D转换相当于一个每隔T秒瞬时接通一次的采样开关，它把连续信号变成了采样数字信号；而D/A转换则近似于一个保持器，它把数字信号变成连续信号。oooooooo⇒o⇒⇒ooooooo图8-4A/D转换与编码（即整量化）过程、D/A转换过程5由此过程可见，虽然连续信号（a）经过转化后仍能恢复为连续信号（d），但两者已不完全相同；（b）和（c）虽都是离散信号，但两者也是有区别的。所以离散信号实际上应包括采样信号和数

5、字信号，但在使用时往往并不加以区分，离散信号与数字信号通用，而图8-1所示采样系统与图8-2所示数字控制系统也通称为离散系统。由于一般离散系统中存在离散的数字信号和连续的模拟信号，在对其动态特性进行研究和分析时，虽在一定程度上可以借鉴连续系统分析的一些成熟方法，但仍然需要考虑其特殊性，相应地利用z变换、z传递函数等来分析和研究系统。6本节主要内容8.1.1脉冲采样与采样定理8.1.2保持器8.1.3z变换与z反变换8.1.4离散系统的差分方程8.1.5线性定常离散系统的z传递函数78.1.1脉冲采样与采样定理1．采样过程采样，就是按照

6、一定的时间间隔对系统中的连续信号的幅值进行采集（或测量），从而将连续信号变换为时间上离散的数字信号，如图8-5所示。用来完成采样过程的装置叫采样器或采样开关，如图8-5（b）所示，它可以表示为一个按一定周期（即采样周期）闭合的开关，每次闭合的时间为τ，产生的是一个单位脉冲序列。对于理想采样过程，通常闭合时间τ远小于采样周期和系统中连续部分的时间常数，因此可以认为τ→0。∗x()tx()tδ()tTx(0)LL0TtA/D∗x()tx()t0tT0T2Ttτ(a)连续信号(b)采样开关(c)采样信号图8-5脉冲采样过程8采样频率与采样周

7、期T的关系表示为2πω=sT*设采样器输出为一串脉冲信号xt()，它与输入的连续信号xt()的关系式为∗xtxt()=()()δtT采样开关的采样过程也可以用下图来表示δ()tT∗xt()xt()幅值调制图8-6信号调制过程9因为采样开关所产生的单位脉冲序列是以T为周期的周期函数，可以展开为傅立叶级数：∞1jktω()tesδ=∑TTk=−∞在控制系统中，通常规定t<0时，xt()0=，所以连续信号经脉冲采样后的采样信号可表示为∞∗x()tx==−()()ttδδT∑x()(ttkT)k=−∞=+−xx(0)(0)δδ()(TtT)+

8、L∞=−∑xkT()(δtkT)k=0上式也可以写成如下形式：10∞∞*xt()=−∑∑xttkTxt()(δδ)=−()(tkT)（8-4）kk==00式（8-4）表示，连续信号在时刻tk==Tk(0,1,2,)L时的