观测向量的变换对广义线性模型参数估计的影响

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1、第16卷第3期数学研究与评论Vol.16No.31996年8月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONAug.1996X观测向量的变换对广义线性模型参数估计的影响刘　金　山(五邑大学数理系,广东江门市529020)摘　要　本文一般地考察了观测向量Y用线性变换FY代替对广义线性模型Y=XB+E的系数估计的影响,得到了由变换引起的方差增量公式,并由此得到了一个可估子空间,当且仅当其中元素的估计优良性不因观测向量的变化而改变,这一结果推广了文献[1]的结果.关键词　广义Gauss2Markoff模型,线性变换,非负定离差阵.分类号　AMS(199

2、1)62F10,62J05öCCLO212.1§1　引　言考虑广义线性模型Y=XB+E,E∽(0,2),(1.1)这里Y是n×1的观测向量,X是秩为任意的n×p阶矩阵,2是n×n阶非负定阵,它是已知的,或存在一个未知的正数因子.对于k×n阶矩阵F,因FY代替Y一般给系数B的估计带来信息的损失.文献[1]定性地证明了,原模型(1.1)的整体可估函数集合XB的最优线性无偏估计(BLUE)的优良性不因观测向量的变化而改变的充要条件是L{X}

3、是关于模型(1.1)的可估函数集合的整体性质,条件(1.2)蕴涵着--L{X′(T)′X}<{X′(T)′TF′},(1.4)---这里A表示A的g2逆.根据T的定义知X′(T)′T=X′,且L{X′(T)′X}=L{X′},因此(1.4)简化为L{X′}

4、95-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.般结果,并由此得到一个可估子空间,其中元素的估计方差不因观测向量的改变而增加,这一结果是对[1]中结果的一个推广.+⊥⊥⊥在以下讨论中,r(A)表示A的秩,A表示A的g+逆,A表示任一满足A′A=0,r(A)=n-r(A)的列满秩阵.§2　主要结果为得到本文的主要结果,需要以下引理.引理1对于模型(1.1),函数C′B的BLUE为d----C′B=C′(X′TX)X′TY+d′(I-TT)Y,(2.1)其中C∈L{X′},d是任一向量,T由(1.3)定义.证明见[2

5、]中定理1.引理2若非负定阵A分块为A11A12A=,A21A22这里Aii非负定.则+++++(i)A11õ2=A11+A11A12A22õ1A21A11,(2.2)++++(ii)A11A12A22õ1=A11õ2A12A22,(2.3)++这里A11õ2=A11-A12A22A21,A22õ1=A22-A21A11A12.+证明可根据分块矩阵广义逆公式及A的唯一性得到.引理3记集合X={x:x=Au且Bu=0},其中x,u是向量,A,B是已知矩阵.则dimX=r(A′,B′)-r(B),这里dim表示子空间维数.证明见[3]中定理1.1.2.引理4设A,B是行数相同的矩阵.则-

6、r(A,B)=r(A)+r[(I-AA)B].　　证明见[4]中定理19.以下记W=FTF′.(2.4)根据引理1,对于任意向量C∈L{X′F′},3----C′B=C′(X′F′WFX)X′F′WFY+d(I-WW)FY(2.5)是以下模型系数函数C′B的BLUE.FY=FXB+e,e∽(0,F2F′).(2.6)d3定理1设C′B和C′B分别是原模型(1.1)和变换模型(2.6)的BLUE.则它们的方差满足3d--+++--Var(C′B)-Var(C′B)=C′(X′TX)X′TZRZ′TX(X′TX)C,(2.7)其中C∈L{X′F′},而—462—©1995-2005Tsi

7、nghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.+⊥+Z=(TTF′),R=Z′T(I-PX)Z,(2.8)+++这里PX=X(X′TX)X′T是向空间L{X}的投影阵.--证明　注意到L{X′TX}=L{X′},L{X′F′WFX}=L{X′F′}.以(2.1)和(2.5)容易推得3dVar(C′B)-Var(C′B)------=C′(X′F′WFX)X′F′WF2F′(W)′FX(X′F′WFX)C