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《西北工业大学《概率论与数理统计》6-3 参数的区间估计new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三节参数的区间估计一、数学期望的置信区间二、正态总体方差的区间估计三、两个正态总体均值差的区间回回估计四、两个正态总体方差比的区间停停估计下下定义定义6.76.7设总体X的分布函数为F(x;θ)，为θ未知参数，(X1,X2,?,Xn)是来自总体X的样样本.如果存在两个统计量θˆ1(X1,X2,?,Xn)和θˆ212(,,,)XXX?n，对于给定的αα(0<<1),使得αP{(,,,)θˆˆXX??X≤θθ≤=(,,,)}1.XXX−α112nn212则称区间[θˆ1,θˆ2]为参数θ的置信度为1−
2、α的置信区间，θˆ称为置信下限，θˆ称为置信上限.12一、数学期望的置信区间一、数学期望的置信区间1.正态总体X的方差σ2已知，求µ的置信区间.22设总体XNµ~(,)σ,σ已知，求总体均值µ的区间估计.设(X1,X2,?,Xn)是来自总体X的一个样本，则有:Xµ−UN=~(0,1)σ/n则P{U≤uα/2}=1−α其中uα/2为标准正态分布的α/2上侧分位数.⎧X−µ⎫即P⎨n≤uα/2⎬=1−α⎩σ⎭⎧σσ⎫则P⎨X−uα/2≤µ≤X+uα/2⎬=1−α⎩nn⎭故的置信度为µ1−α的置信区间为:
3、⎡σσ⎤⎢X−uα/2,X+uα/2⎥⎣nn⎦若给定α=0.05，查正态分布表得u0.025=1.96，于是得µ的置信度为95%的置信区间为:⎡σσ⎤X−1.96,X+1.96⎣⎢nn⎥⎦例例11某车间生产的滚珠直径X服从正态分布N(µ,0.06)，现从某天生产的产品中抽取6个，测得直径分别为(单位:mm).14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1试求平均直径置信度为95%的置信区间.解置信度为1−α=0.95,α=0.05uα/2=u0.025=1.96，由样本值得x=14.95
4、,n=6,σ=0.06由公式有:σσ置信下限X−uα/2=14.95−1.96=14.75nnσσ置信上限X+uα/2=14.95+1.96=15.15nn所以平均直径µ的置信度为95%的置信区间为[14.75,15.15.]若取α=0.01，可算出µ的置信度为99%的置信区间为[14.69,15.21].备用题备用题22.正态总体X的方差σ未知，求µ的置信区间22设总体XNµ~(,)σ,σ未知，求总体均值µ的区间估计.设(X1,X2,?,Xn)来自总体X的一个样本，则有:X−µT=~t(n−1)*
5、Sn/n从而对于给定的置信度，1−α有P{T≤tα/2(n−1)}=1−α其中tα/2(n−1)是自由度为n−1的分布关于tα/2的上侧分位数，于是有⎧X−µ⎫P⎨*≤tα/2(n−1)⎬=1−α⎩Sn/n⎭⎧S*S*⎫即PX−t(n−1)n≤µ≤X+t(n−1)n⎨α/2α/2⎬⎩nn⎭故µ的置信度为1−α的置信区间为⎡S*S*⎤X−t(n−1)n,X+t(n−1)n⎢α/2α/2⎥⎣nn⎦例2例2某糖厂用自动包装机装糖，设每包糖的22重量服从正态分布Nµ(,),σσ未知.某日开工后测得9包糖的重
6、量分别为(单位:kg)99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5试求每包糖平均重量µ的置信度为95%的置信区间.解由题设知置信度1−α=0.95，查t分布表得tα/2(n−1)=t0.025(8)=2.3062*由样本观测值得x=99.978,Sn=1.47则总体X的数学期望µ的置信度为95%的置信区间为**⎡xtnSnxtnSn−−(1),+−(1)⎤⎣αα/2nn/2⎦=−⎡99.9782.306×1.47/3,99.9782.306+×1.
7、47/3⎤⎣⎦=[99.046,100.91]备用题备用题二、正态总体方差的区间估计二、正态总体方差的区间估计22设总体XNµ~(,)σ,µ,σ未知，求总体方差或标准差σ的区间估计.设(X1,X2,?,Xn)是来自总体X的一个样本，则有:2*22(1nS−)nχχ=~(1n−)2σ从而对于给定的置信度1−α，有222Pn{}χ1/−αα2(1−)≤≤χχ/2=−1α⎧22⎫从而:**⎪(n−1)Sn2(n−1)Sn⎪P⎨≤σ≤⎬=1−α22⎪⎩χα/2(n−1)χ1−α/2(n−1)⎪⎭2故σ的置信
8、度为1−α的置信区间为:⎡22⎤**⎢(n−1)Sn(n−1)Sn⎥,22⎣⎢χα/2χ1−α/2⎥⎦而σ的置信度为1−α的置信区间为:⎡*2*2⎤⎢(n−1)Sn,(n−1)Sn⎥⎢χ2χ2⎥α/21−α/2⎣⎦例3例3从自动机床加工的同类零件中抽取16件，测得长度分别为(单位:cm):12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.01,12.03,1
