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1、第2卷第4期电 机 与 控 制 学 报Vol.2No.41998年12月ELECTRICMACHINESANDCONTROLDec.19983控制问题中的线性矩阵不等式及其求解LMIsinControlProblemsandItsSolution王广雄 林愈银 谢 冰(哈尔滨工业大学)WangGuangxiongLinYuyinXieBing(HarbinInstituteofTechnology)摘 要 介绍了有关线性矩阵不等式的一些基本概念。对用于求解线性矩阵不等式的MAT2LAB5.1中的线性矩阵不等式工具箱作了简要说明。为了说明线性矩阵不
2、等式的求解过程。文中还给出了一个稳定性分析的例子。关键词 线性矩阵不等式;LMI控制工具箱;决策向量分类号 TP13;O231AbstractThispaperpresentssomebasicconceptsaboutLMIsincontrol,andgivesanintroductiontoMATLAB5.1/LMIControlToolbox,whichisusedtosolveLMIs.Inordertoillustratetheproce2dureofLMIssolving,anexampleisgiveninthispaper.Key
3、wordslinearmatrixinequality;LMIControlToolbox;decisionvector的求解。线性矩阵不等式的一般形如下[1,2,3]1 引 言L(X)=x1A1+x2A2+⋯+xnAn+A0≤0(1)随着控制技术的迅速发展,当今在反馈控制系或L(X)≤0(2)统的设计中,常常需要考虑系统的不确定性,也即其中,L(X)依靠于给定的对称矩阵A0,A1,⋯,An系统的鲁棒性。在处理不确定性系统的许多鲁棒控和决策向量x∈Rn,x=(x)。这里,≤1,x2,⋯,xn制问题及其控制系统理论中引起的许多其它控制问0代表负半定
4、。通常把线性矩阵不等式写成式(2)题时,都可转化成一种称为线性矩阵不等式或带有而不写成式(1),在式(2)中矩阵为量X是一个对称线性矩阵不等式限制条件的最优化问题。线性矩阵矩阵即:X=XT。X的上三角矩阵中的元素和决策不等式以及线性矩阵不等式方法(技术)已是控制向量x中的元素一一对应。当有多个具有形如式工程、系统辨识、结构设计等领域的一个强有力的(2)的线性矩阵不等式的限制条件时,可用下面定义设计工具。用线性矩阵不等式技术来求解控制问的单一线性矩阵不等式L(X)≤0来表示,即题,是目前和今后控制理论发展的一个重要方向。L(X)=Blockdiag
5、(L1(X),⋯,Lm(X))≤0(3)[1,4]式中,Blockdiag(L1(X),⋯,Lm(X))是一个方块对角矩2 线性矩阵不等式问题阵,L1(X),⋯,Lm(X)在它的对角线上。这样,控制问题在控制工程中,许多控制问题尤其是鲁棒控制就转化成求满足式(2)或者式(3)的决策向量x。问题,都可转化成一种称为线性矩阵不等式问题或在控制理论中,经常遇到的两种矩阵不等式为:带有线性矩阵不等式限制条件的简单的最优化问题a1李亚普诺夫(Lyapunov)不等式 收稿日期:1998-10-203国家高等学校博士学科点基金资助项目王广雄 男 1933年生
6、,哈尔滨工业大学控制工程系教授、博士生导师。主要研究方向为H∞控制理论及应用,高精度伺服系统设计。©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.192电 机 与 控 制 学 报 第2卷TTn×nAX+XA+Q≤0X=X∈R(4)线性矩阵不等式控制工具箱提供了在鲁棒控制b1李卡第(Riccati)不等式设计中所遇到的凸最优化问题的解,同时给出了一TTTn×nAX+XA+XBBX+Q≤0X=X∈R(5)个用于求解线性矩阵不等式的集成环境。由于这个显然,式(4)是线性矩阵不
7、等式,式(5)由于含有二次工具箱功能强大和友好的用户界面,因此可以开发T项XBBX,故此式是二次矩阵不等式而不是线性自己的应用程序。矩阵不等式,但利用Schur定理,可很容易将其变成对于第2节中提到的三个一般问题的求解,线线性矩阵不等式,即性矩阵不等式控制工具箱提供了与之对应的三个求TAX+XA+QXB解函数:feasp(),mincx()以及gevp()函数。此外,还给≤0(6)T-IBX该工具箱可用于:①多目标控制器综合。包括LQG在上述两种线性矩阵不等式中,对称矩阵X中的n综合,H∞综合和极点配置综合;②系统鲁棒性的分(n+1)/2个未知的
8、自由项(元素)构成了决策向量析和测试,包括检测时变线性系统的二次稳定性,带x,即x=(x11,⋯x1n,x22,⋯,x2n,⋯,xnn)
